立体几何期末备考微专题：立体几何中的截线截面轨迹问题汇编.doc

立体几何中的截线长与轨迹问题汇编在立体几何的学习过程中，球面上的截线长计算问题对学生的杀伤力十足，这类问题往往具有较复杂的立体结构，学生缺乏深刻的图形直观想象，另一方面是计算过程中的几何位置关系论证证不出来，所以这类题目的出现基本上对应着低得分率.那么如何有效的提升这类问题的解题能力就是一个重要的研究，现在的学生普遍喜欢计算，可又在选填里缺少建立直角坐标系计算的意识，所以下来通过几个问题，展示一类计算球面上的截线长问题的常规处理流程，提高解题能力.例1.（2021成都一诊理数）在三棱锥中，面，，三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为_______；若点分别是的重心，直线与球的表面相交于两点，则线段的长度为____.解析：如图，，故球的半径满足，则,且球心在的中点处.若要的长度，根据几何关系及垂径定理可知，设球心到直线的距离为，则，所以只需计算球心到直线的距离的即可.注意到为的重心，倘若计算出的三边长，则球心到直线的距离即可解得，为此，下来建立直角坐标系，再根据重心坐标公式可得的坐标，最后即可解得.注：可以看到，球面上的截线长问题其实质就是在一个大圆面上应用垂径定理，所以，找到球心到截线的距离是关键，这个时候，我们可以借助向量找到球心到截线上两个特殊点的向量坐标，进而长度就出现，最后可利用三角形有关性质解出球心到截线的距离.例2.（2020新高考1卷）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．解析：如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得.故答案为：.例3.在四棱锥中，面四边形是边长为的正方形，且．若点分别为的中点，则直线被四棱锥的外接球所截得的线段长为_____．解法1.如图所示：因为面四边形是正方形，所以均为以为斜边的直角三角形，所以外接球的球心O为PC的中点，则,取EF的中点G,因为，所以，则，所以，所以球心到直线的距离为，所以，所以所截得的线段长为，故答案为：.这个几何证法可以让很多学生望洋兴叹，下来我们再尝试用例1所总结的向量方法来计算.即计算球心与截线上两个特殊点所构成的的高线长.解法2.以为原点，所在直线分别为轴，所需各点坐标为，则，则为边长是的等边三角形，则点到直线的距离，最后所截得的线段长为.两个方法，高低立现，所以我们在处理一些立体几何的选题压轴题时，多去尝试用向量的方法来解决可以着实提高很多学生的解题能力.总练习题1.已知三棱锥中，，，，M，N分别为PB，PC的中点，则直线MN被三棱锥外接球截得的线段长为（）A．B．C．D．【答案】A2.在正方体中，边长为，面与面的重心分别为E、F，求正方体外接球被EF所在直线截的弦长为A．B．C．D．【答案】D3．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．D．24．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A．B．C．D．5．在三棱锥中，，在底面上的投影为的中点，.有下列结论：①三棱锥的三条侧棱长均相等；②的取值范围是；③若三棱锥的四个顶点都在球的表面上，则球的体积为；④若，是线段上一动点，则的最小值为.其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．46．已知四面体的所有棱长均为，，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点．有下列结论：①线段的长度为1；②若点为线段上的动点，则无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线；③的余弦值的取值范围为；④周长的最小值为．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4