上海市位育中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试卷 WORD版含答案.docx

2020-20201学年上海市位育中学高二上数学10月月考卷2020.10一.填空题1.计算：2.三阶行列式的元素4的代数余子式为3.已知点，，则向量的单位向量为4.若线性方程组的增广矩阵为，解为，则5.若为正方形，为的中点，且，，则可以用和表示为6.若行列式，则7.计算：8.设，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是9.在△中，若，则△的形状为10.在△中，，向量的终点在△的内部（不含边界），则实数的取值范围是11.已知平行四边形，，，为锐角，且，点是边上一定点，点是边上一动点，若恒成立，则12.设是△的垂心，且，则二.选择题13.已知直线的方程为，则的法向量可以是（）A.B.C.D.14.已知，，且向量在向量方向上的投影是，则（）A.，B.，C.，取任意实数D.，取任意实数15.已知向量，，对任意的，恒有，则（）A.B.C.D.16.对于非零向量、，定义运算“#”：，其中为、的夹角，有两两不共线的三个向量、、，下列结论：①若，则；②；③若，则∥；④；⑤；其中正确的个数有（）A.1B.2C.3D.4三.解答题17.已知为原点，，，与垂直，与平行，求的坐标.18.用行列式的方法解关于、的方程组，并对解的情况进行讨论.19.已知，，，，求与的夹角.20.在△中，已知，.（1）若点的坐标为，直线∥，直线交边于，交边于，且△与△的面积之比为，求直线的点方向式方程；（2）若是一个动点，且△的面积为2，试求关于的函数关系式.21.已知△中，过重心的直线交边于，交边于，设△的面积为，△的面积为，，.（1）求；（2）求证：；（3）求的取值范围.2020-20201学年上海市位育中学高二上数学10月月考卷参考答案一.填空题1.2.3.或4.5.6.7.8.9.等腰三角形10.11.112.二.选择题13.D14.C15.C16.C三.解答题17..解：由题,设为,则,所以因为与垂直,则,即①,又因为与平行,则②,由①②可得,,,所以的坐标为18.当时，方程有无数组解；当时，方程组无解；当且时，方程组有唯一解.解：系数矩阵对应的行列式，当，即且时，方程组有唯一的解，，．，即或时．当时，原方程为无数组解，当时，原方程组为无解．19..解：因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以.20.（1）；（2）或.解：（1），即，，且，，设点的坐标为，，，，解得，.直线的斜率为，，则直线的斜率为.因此，直线的方程为，即；（2）直线的方程为，即，，设点到直线的距离为，则的面积为，得，另一方面，由点到直线的距离公式得，，解得或.因此，关于的函数关系式为或.21.（1）；（2）证明见解析；（3）.解：（1）证明：∵G是△ABC的重心，延长AG，交BC于点D，∴D是BC的中点，且GD＝AG；以向量、为邻边作平行四边形BGCE，如图所示；则+＝＝2；又＝，＝，且＝2，∴＝，＝﹣2；∴++＝﹣2+2＝．（2）证明：取特殊直线PQ，使其过重心G且平行于边BC，∵点G为重心∴＝2∵，，∴p＝2，q＝2∴＝1即（3）设＝，＝，连接AG并延长AG交BC于M，此时M是BC的中点．于是＝（+）＝（+），＝（+）,又由已知＝λ＝λ，＝μ＝μ．∴＝﹣＝μ﹣λ，＝+＝（+）﹣λ＝（﹣λ）+，因为P、G、Q三点共线，则存在实数t，满足＝t，所以（﹣λ）+＝tμ﹣tλ，即：﹣λ＝﹣tλ，且tμ＝，消去参数t得：+＝3，由于△APQ与△ABC有公共角，则＝＝λμ，由题设有0＜λ≤1，0＜μ≤1，于是≥1，≥1，∵＝3﹣≤2，∴1≤≤2，∵+＝3，∴μ＝，∴＝λμ＝＝＝，∵1≤≤2，∴当＝，有最小值，当＝1或2时，有最大值，∴的取值范围为.