21版高考数学人教A版浙江专用大一轮复习核心考点&精准研析 8-7-1 利用空间向量求线线角 WORD版含解析.doc

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心考点·精准研析考点一异面直线所成的角1.(2020·台州模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为B1C1的中点,则异面直线AF与C1E所成角的正切值为()A.B.C.D.2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.3.已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE,SD所成角的余弦值为________.世纪金榜导学号4.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,=λ,若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为,则λ的值为________.世纪金榜导学号【解析】1.选C.以D为坐标原点,DC,DA,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,可得A(0,2,0),B(2,2,0),C(2,0,0),B1(2,2,2),C1(2,0,2),由中点坐标公式可得E(2,1,0),F(2,1,2),则=(2,-1,2),=(0,1,-2),设两异面直线所成角为θ,则cosθ=|cos<,>|===,则sinθ=,故异面直线AF与C1E所成角的正切值为=.2.选C.建立如图所示空间直角坐标系.设BC=CA=CC1=2,则可得A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以=(1,-1,2),=(-1,0,2).所以cos<,>====.3.以两对角线AC与BD的交点O作为原点,以OA,OB,OS所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设边长为2,则有O(0,0,0),A(,0,0),B(0,,0),S(0,0,),D(0,-,0),E,所以=,=(0,-,-),|cos<,>|===,故AE,SD所成角的余弦值为.答案:4.以D为原点,以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,正方体的棱长为2,则A1,D1,E,A,所以=,=+=+λ=+λ=,所以cos<,>===,解得λ=(λ=-舍去).答案:求异面直线所成的角的两个关注点(1)用向量方法求两条异面直线所成的角,是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的.(2)由于两异面直线所成角的范围是θ∈0,,两方向向量的夹角α的范围是(0,π),所以要注意二者的区别与联系,应有cosθ=|cosα|.【秒杀绝招】补形法解T2【解析】选C.由于∠BCA=90°,三棱柱为直三棱柱,且BC=CA=CC1,可将三棱柱补成正方体.建立如图所示空间直角坐标系.设正方体棱长为2,则可得A(0,0,0),B(2,2,0),M(1,1,2),N(0,1,2),所以=(-1,-1,2),=(0,1,2).所以cos<,>====.考点二直线与平面所成的角【典例】(2020·台州模拟)如图棱锥P-ABCD的底面是菱形,AB=2,∠DAB=,侧面PAB垂直于底面ABCD,且△PAB是正三角形.世纪金榜导学号(1)求证:PD⊥AB;(2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.【解题导思】序号联想解题(1)证明线线垂直,先证明线面的垂直——直线AB与过PD的平面垂直(2)求线面角,利用向量法,先根据几何体中的线面关系建立空间直角坐标系,分别求出直线的方向向量与平面的法向量,然后利用这两个向量的夹角表示所求角.【解析】(1)如图,取AB中点O,连接PO,DO,因为△PAB是正三角形,所以PO⊥AB,又因为ABCD是菱形,∠DAB=,所以△DAB是正三角形,所以DO⊥AB,又PO∩DO=O,PO,DO⊂平面PDO,所以AB⊥平面PDO,因为PD⊂平面PDO,所以PD⊥AB.(2)因为侧面PAB垂直于底面ABCD,面PAB∩面ABCD=AB,PO⊥AB,所以PO⊥面ABCD.如图,以点O为坐标原点建立空间直角坐标系,则P(0,0,),C(2,,0),B(1,0,0),D(0,,0),则=(2,,-),=(0,,-),=(-1,,0),设平面PBD的法向量n=(x,y,z),则QUOTE取x=,得y=1,z=1,所以n=(,1,1),记直线PC与平面PBD所成角为θ,所以sinθ===,所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为.利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.(2020·金华十校联考)在四棱锥S-A