2022年新教材高中数学 课时检测32 平面与平面垂直（二）（含解析）新人教A版必修第二册.doc

平面与平面垂直(二)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.若两个平面互相垂直,在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b,那么()A.直线a垂直于第二个平面B.直线b垂直于第一个平面C.直线a不一定垂直于第二个平面D.过a的平面必垂直于过b的平面【解析】选C.直线a与直线b均不一定垂直两面的交线.2.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点F,作FE⊥A1B1于E,则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A.平行B.EF⊂平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D.相交且垂直【解析】选D.由于长方体中平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1,所以根据面面垂直的性质定理可知,EF与平面A1B1C1D1相交且垂直.3.在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC一定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选A.过点A作AH⊥BD于点H,由平面ABD⊥平面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC,所以BC⊥AD,又因为AH∩AD=A,所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥AB,即△ABC一定为直角三角形.4.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,则BD与CC1()A.平行B.共面C.垂直D.不垂直【解析】选C.如图所示,在四边形ABCD中,因为AB=BC,AD=CD.所以BD⊥AC.因为平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥CC1.5.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥nB.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥nC.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥βD.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β【解析】选D.A中,m,n可能为平行、垂直、异面直线;B中,m,n可能为异面直线;C中,m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立.6.(多选题)如图所示,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面,点M为线段PB的中点.以下四个结论中正确的为()A.PA∥平面MOBB.MO∥平面PACC.OC⊥平面PACD.平面PAC⊥平面PBC【解析】选BD.因为PA⊂平面MOB,所以选项A不正确;因为MO∥PA,而且MO⊄平面PAC,所以选项B正确;OC不垂直于AC,所以选项C不正确;因为BC⊥AC,BC⊥PA,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBC,所以选项D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在四面体ABCD中,AB⊥AD,AB=AD=BC=CD=1,且平面ABD⊥平面BCD,M为AB中点,则线段CM的长为________.【解析】如图所示,取BD的中点O,连接OA,OC,因为AB=AD=BC=CD=1,所以OA⊥BD,OC⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD,所以OA⊥平面BCD,OA⊥OC.又AB⊥AD,所以DB=.取OB中点N,连接MN,CN,所以MN∥OA,MN⊥平面BCD.因为CN2=ON2+OC2,所以CM==.答案:8.(双空题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角C1-AB-D的大小为________;直线AC1与平面ABCD所成的角的正切值为________.【解析】二面角C1-AB-D的平面角为∠C1BC=45°,由线面角的定义知直线AC1与平面ABCD所成的角为∠C1AC,故正切值为.答案:45°三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足.(1)求证:PA⊥平面ABC;(2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.【证明】(1)在平面ABC内任取一点D,作DF⊥AC于点F,作DG⊥AB于点G.因为平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,所以DF⊥平面PAC.因为PA⊂平面PAC,所以DF⊥PA.同理可证,DG⊥PA.因为DG∩DF=D,所以PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于点H.因为E是△PBC的垂心,所以PC⊥BH.又因为AE是平面PBC的垂线,所以PC⊥AE.因为BH∩AE=E,所以PC⊥平面ABE,所以PC⊥AB.又因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB.因为PA∩PC=P,所以AB⊥平面PAC.所以AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.【补偿训练】如图,α⊥β,α∩β=l,AB⊂α,AB⊥l,BC⊂β,DE⊂β,BC⊥DE.求证:AC