2022届高中数学 微专题49 等差数列性质练习（含解析）.doc

微专题49等差数列性质一、基础知识：1、定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示2、等差数列的通项公式：，此通项公式存在以下几种变形：（1），其中：已知数列中的某项和公差即可求出通项公式（2）：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差（3）：已知首项，末项，公差即可计算出项数3、等差中项：如果成等差数列，则称为的等差中项（1）等差中项的性质：若为的等差中项，则有即（2）如果为等差数列，则，均为的等差中项（3）如果为等差数列，则注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。比如，则不一定成立②利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。例如：，可得，即可得到，这种做法可称为“多项合一”4、等差数列通项公式与函数的关系：，所以该通项公式可看作关于的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。例如：，递增；，递减。5、等差数列前项和公式：，此公式可有以下变形：（1）由可得：，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知，只需已知序数和为的两项即可（2）由通项公式可得：作用：①这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式②，即是关于项数的二次函数，且不含常数项，可记为的形式。从而可将的变化规律图像化。（3）当时，因为而是的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系当时，即偶数项和与中间两项和的联系6、等差数列前项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前项和公式入手分析（1）从项的特点看最值产生的条件，以4个等差数列为例：通过观察可得：为递增数列，且，所以所有的项均为正数，前项和只有最小值，即，同理中的项均为负数，所以前项和只有最大值，即。而虽然是递减数列，但因为，所以直到，从而前4项和最大，同理，的前5项和最小。由此可发现规律：对于等差数列，当首项与公差异号时，前项和的最值会出现在项的符号分界处。（2）从的角度：通过配方可得，要注意，则可通过图像判断出的最值7、由等差数列生成的新等差数列（1）在等差数列中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列例如在，以3为间隔抽出的项仍为等差数列。如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距（2）已知等差数列，设，，则相邻项和成等差数列（3）已知为等差数列，则有：①为等差数列，其中为常数②为等差数列，其中为常数③为等差数列①②③可归纳为也为等差数列8、等差数列的判定：设数列，其前项和为（1）定义（递推公式）：（2）通项公式：（关于的一次函数或常值函数）（3）前项和公式：注：若，则从第二项开始呈现等差关系（4）对于，，即从第二项开始，每一项都是相邻两项的等差中项二、典型例题：例1：设等差数列的前项和为，且，，则_________思路：由可得：，即。而，所以不是各项为0的常数列，考虑，所以答案：小炼有话说：关于等差数列钱前项和还有这样两个结论：（1）若，则（本题也可用此结论：，从而利用奇数项和与中间项的关系可得）（2）若，则有例2：已知数列为等差数列，若，则_______思路：条件与所求都是“”的形式，由为等差数列可得也为等差数列，所以为的等差中项，从而可求出的值解：为等差数列也为等差数列答案：例3：设为等差数列的前项和，，则（）A.B.C.D.思路一：已知等差数列两个条件即可尝试求通项公式，只需将已知等式写成关于的方程，解出后即可确定通项公式或者数列中的项解：思路二：本题还可抓住条件间的联系简化运算。已知，从而联想到可用表示，即，所以等式变为：，所以可得。答案：A小炼有话说：思路一为传统手段，通常将已知两个等式变形为的二元方程，便可求解。但如果能够观察出条件间的联系，往往能通过巧妙的变形简化计算过程。在平时的练习中建议大家多尝试思路二的想法，努力找到条件间的联系，灵活利用等差数列性质进行变形。而思路一可作为“预备队”使用。例4：在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于（）A.B.C.D.思路：由观察到的特点，所以考虑数列的性质，由等差数列前项和特征可得，从而可判定为等差数列，且可得公差，所以，所以，即答案：B例5：已知为等差数列，且前项和分别为，若，则_____思路：，所求可发现分子分母的项序数相同，结合条件所给的是前项和的比值。考虑利用中间项与前项和的关系，有：，将项的比值转化为数列和的比值，从而代入即可求值：答案：小炼有话说：等差数列中的项与以该项为中间项的前项和可搭建桥梁：，这个桥梁往往可以完成条件中有关数列和与项之间的相互转化。例6：已知等差数列中，，则此数列前项和等于（）A.B.C.D.思路：求前30项和，联想到公式，则只需。由条件可得：，所以，所以答案：D例7：已知等差数列中，，则的值为___________思路