2015高考数学（理）一轮突破热点题型：第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系.doc

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系考点一直线与圆、圆与圆的位置关系[例1](1)(2013·陕西高考)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)(2014·南昌模拟)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是________________．[自主解答](1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝eq\f(|a·0＋b·0－1|,\r(a2＋b2))＝eq\f(1,\r(a2＋b2))<1，所以直线与圆相交．(2)把圆的方程化为标准方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)k))2＋(y＋1)2＝16－eq\f(3,4)k2，所以16－eq\f(3,4)k2>0，解得－eq\f(8\r(3),3)<k<eq\f(8\r(3),3)，由题易知点(1,2)应在已知圆的外部，把点代入圆的方程得1＋4＋k＋4＋k2－15>0，即(k－2)·(k＋3)>0，解得k>2或k<－3，则实数k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8\r(3),3)，－3))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8\r(3),3))).[答案](1)B(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8\r(3),3)，－3))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8\r(3),3)))【互动探究】在本例(2)中的条件“总可以作两条直线”改为“至多能作一条直线”，结果如何？解：依题意知点(1,2)应在圆上或圆的内部，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16－\f(3,4)k2>0，,1＋4＋k＋4＋k2－15≤0，))解得－3≤k≤2.【方法规律】1．判断直线与圆的位置关系的方法(1)几何法：①明确圆心C的坐标(a，b)和半径r，将直线方程化为一般式；②利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d；③比较d与r的大小，写出结论．(2)代数法：①直线方程与圆的方程联立，消去一个变量；②判断二次方程根的个数(Δ与0的关系)；③得出结论．2．圆与圆的位置关系判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是：(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离解析：选B法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,x2＋y2＝1，))消去y，整理得x2＋x＝0，因为Δ＝12－4×1×0＝1>0，所以直线与圆相交．又圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，且0≠0＋1，所以直线不过圆心．法二：圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径长为1，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).因为0<eq\f(\r(2),2)<1，所以直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1相交但直线不过圆心．2．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选D圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，∴圆心C1(－1，－1)，半径长r1＝2；圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C2(2,1)，半径长r2＝1.∴d＝eq\r(－1－22＋－1－12)＝eq\r(13)，r1＋r2＝3，∴d>r1＋r2，∴两圆外离，∴两圆有4条公切线．考点二与圆有关的弦长问题[例2](1)(2013·安徽高考)直线x＋2y－5＋eq\r(5)＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A．1B．2C．4D．4eq\r(6)(2)(2013·江西高考)过点(eq\r(2)，0)引直线l与曲线y＝eq\r(1－x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.eq\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),3)C．±eq\f(\r(3),3)D．－eq\r(3)[自主解答](1)因为圆心(1,2)到直线x＋2y－5＋eq\r(5)＝0的