2015高考数学（理）一轮复习配套文档：第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系.doc

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系【考纲下载】1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：相交、相切、相离．(2)两种研究方法：2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解1．两圆不同的位置关系与对应公切线的条数有何关系？提示：当两圆外离时，有4条公切线；当两圆外切时，有3条公切线；当两圆相交时，有2条公切线；当两圆内切时，有1条公切线；当两圆内含时，没有公切线．2．若两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程．1．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是()A．相切B．直线过圆心C．直线不过圆心，但与圆相交D．相离解析：选B依题意圆心(－1,0)，到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq\f(0,\r(12＋－12))＝0，所以直线过圆心．2．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：选B两圆的圆心距离为eq\r(17)，两圆的半径之差为1，之和为5，而1<eq\r(17)<5，所以两圆相交．3．(2012·重庆高考)设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2解析：选D因为直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)，所以所得弦长|AB|＝2.4．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是____________．解析：依题意知eq\f(2,\r(k2＋－12))>1，解得－eq\r(3)<k<eq\r(3).答案：(－eq\r(3)，eq\r(3))5．已知直线5x＋12y＋m＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则m＝________.解析：由圆x2－2x＋y2＝0，得(x－1)2＋y2＝1，则圆心为(1,0)，半径为r＝1.由于直线和圆相切，则eq\f(|5＋m|,\r(52＋122))＝1，得m＝8或－18.答案：8或－18前沿热点(十一)直线与圆的综合应用问题1．直线与圆的综合应用问题是高考中一类重要问题，常常以解答题的形式出现，并且常常是将直线与圆和函数、三角、向量、数列及圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数、最值、圆的方程等问题．2．对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系；其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、转化与化归、待定系数及分类讨论等思想方法．[典例](2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．[解题指导](1)曲线与坐标共有三个交点，由这三点即可求出圆的方程；(2)设交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程与圆的方程联立，利用根与系数的关系及⊥即可求出a的值．[解](1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2eq\r(2)，0)，(3－2eq\r(2)，0)．故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2eq\r(2))2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为eq\r(32＋t－12)＝3.所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其坐标满足方程组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋a＝0，,x－32＋y－12＝9.))消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0.从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝eq\f(a2－