湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（一）数学试题+Word版含解析.doc

英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷（一）数学本试卷。时量120分钟。满分150分。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，集合，则（）A.B.C.D.2.已知，向量，，则“”是“”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.复数（，为虚数单位），表示的共轭复数，表示的模，则下列各式正确的是（）A.B.C.D.4.若直线：与圆：交于，两点，则的最小值为（）A.B.C.D.5.数列满足若，则等于（）A.B.C.D.6.现有长为89cm的铁丝，要截成小段，每段的长度为不小于1cm的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（）A.8B.9C.10D.117.已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.8.已知函数在区间，上都单调递增，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数，以下结论正确的是（）A.如果，那么为奇函数B.如果，那么为单调函数C.如果ab>0，那么没有零点D.如果，那么的最小值为210.由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着和分别作上底面的垂面，垂面经过棱，，，的中点，，，，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若，则（）A.B.C.平面D.几何体2的表面积为11.已知随机变量，，，，记，其中，，则（）A.B.C.D.若，则12.已知，函数，则（）A.对任意，，存在唯一极值点B.对任意，曲线过原点的切线有两条C.当时，存在零点D.当时，的最小值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则__________.14.用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有个，则的展开式中，的系数是___________.（用数字作答）15.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是____________.16.如图，椭圆的中心在原点，长轴在轴上.以，为焦点的双曲线交椭圆于，，，四点，且.椭圆的一条弦交双曲线于，设，当时，双曲线的离心率的取值范围为____________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）是否存在，使得，若存在，求；若不存在，说明理由.18.（12分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，.（1）证明：；（2）当为何值时，平面与平面所成的二面角的正弦值最大?19.（12分）已知数列满足，，.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和.20.（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.21.（12分）某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏.游戏的规则如下：每局游戏需投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，该局得3分，否则得1分.已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立.（1）求甲在一局游戏中投篮命中次数的分布列与期望；（2）若参与者连续玩局投篮游戏获得的分数的平均值大于2，即可获得一份大奖.现有和两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择?请说明理由.22.（12分）已知抛物线：，，，是抛物线上的三点，且满足，过作于点.（1）若，求证直线过定点；（2）设，记点轨迹围成的图形的面积为，记的面积为，当直线的倾斜角不是钝角时，求的最小值.英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷（一）数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ABDCCBDD1.A【解析】解不等式，得，则，解不等式，得，即，所以，故选A.2.B【解析】若向量，则，即，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选B.3.D【解析】因为，所以，故A错误；，，故B错误；，，故C错误；由复数的几何意义可知，，则，故D正确.故选D.4.C【解析】依题意，圆：，故圆心到直线：的距离，故，当且仅当时等号成立，故，故选C.5.C【解析】因为，所以，，，，所以数列