【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（二）数学试题 Word版含解析.doc

大联考长郡中学2024届高三月考试卷（二）
数学
得分__________.
本试卷.时量120分钟.满分150分.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，则的元素个数为（）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】
【分析】求出，得到交集，得到元素个数.
【详解】集合，，
则，即元素个数为3.
故选：B
2.设，若复数的虚部为3（其中为虚数单位），则（）
A. B. C. D.3
【答案】A
【解析】
【分析】利用的性质和复数的除法运算化简求出其虚部令其等于3可得答案.
【详解】复数，
因为其虚部为3，所以，可得.
故选：A.
3.已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可得，根据数量积的定义及运算律求出，即可求出，最后根据计算可得.
【详解】因为，所以，
∴，又，所以，∴或（舍去），
所以，
所以在方向上的投影向量为.
故选：A.
4.设抛物线：焦点为，在上，，则的方程为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的定义求得，进而确定正确答案.
【详解】抛物线的开口向上，
由于在上，且，
根据抛物线的定义可知，
所以抛物线的方程为.
故选：A
5.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得在区间恒成立，进一步转化为在区间恒成立，从而可求出实数的取值范围
【详解】由，得，
因为函数在区间上单调递增，
所以在区间恒成立，
所以在区间恒成立，
即在区间恒成立，所以.
故选：D
6.直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由时,圆心到直线的距离.所以弦长为.所以.所以充分性成立,由图形的对称性，当时,的面积为.所以不要性不成立.故选A.
考点：1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.

7.已知，且，则（）
A. B. C. D.1
【答案】B
【解析】
【分析】据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.
【详解】，
,
，
又，则，即
所以，
因为，所以，.
由平方可得，即，符合题意.
综上，.
故选：B.
8.若实数满足，则的最小值是（）
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】A
【解析】
【分析】先画出函数和的图像，再根据图像解释的几何意义即可.
【详解】由，得，令，则，
令得，当时，单调递减，当时，单调递增；
由，得，令，
的图像如下图：

则表示上一点与上一点的距离的平方，
显然，当过M点的切线与平行时，最小，
设上与平行的切线的切点为，由，解得，
所以切点为，切点到的距离的平方为，
即的最小值为8；
故选：A.
二､多选题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.关于下列命题中，说法正确的是（）
A.已知，若，则
B.数据的分位数为77
C.已知，若，则
D.某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现按年级分层，用分层随机抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人
【答案】CD
【解析】
【分析】对各个选项进行分析判断即可得出结论.
【详解】对于，
，
，解得，故A错误；
对于，将数据从小到大排序为，
，
分位数为第5个数，即78，故B错误；
对于，
，故C正确；
对于D，抽样比为，
高二应抽取人，则高三应抽取人，故D正确.
故选：CD.
10.已知函数，则（）
A.函数的最小正周期为
B.若函数为偶函数，则
C.若，则函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
D.若，则函数的图象的对称中心为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，逐项判定，得出结论．
【详解】由题意，函数
，其中
可得函数的最小正周期为，故A正确；
若函数为偶函数，则，故B错误；
若，则函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到，故C正确；
若，则函数，令，求得，，
可得它的图象的对称中心为，故D正确，
故选：ACD．
11.如图，四棱锥的底面是梯形，，，，，平面平面，，分别为线段，的中点，点是底面内包括边界的一个动点，则下列结论正确的是（）

A.
B.三棱锥外接球的体积为
C.异面直线与所成角的余弦值为
D.若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平面平面，得到平面,可判断A，B选项；异面直线