湖南省长沙市长郡中学2018届高三实验班选拔考试理数试题+Word版含答案.doc

绝密★启用前长郡中学2017～2018学年新高三实验班选拔考试理科数学试卷本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，时量120分钟，满分150分。第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．若复数（其中，为虚数单位）的虚部为1，则A．1B．2C．D．2．已知集合，集合，则A．B．C．D．3．长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为A．B．C．D．4．已知等差数列的前项和为，若，则A．23B．96C．224D．2765．已知为双曲线的一个焦点，其关于双曲线的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为A．B．C．2D．6．下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为A．7B．9C．10D．118．若二项式展开式的各项系数之和为－1，则含项的系数为A．560B．－560C．280D．－2809．某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是A．B．C．D．10．已知椭圆，若直线经过，与椭圆交于两点，且，则直线的方程为A．B．C．D．11．已知三棱锥的每个顶点都在球的表面上，，且二面角的正切值为4，则球的表面积为A．B．C．D．12．已知函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为A．B．C．D．第Ⅱ卷（90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13．若实数满足，则的最小值为．14．设，，且，则．15．已知，，则．16．在数列中，首项不为零，且，为的前项和．令，则的最大值为．三、解答题（本大题共7小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（本小题满分8分）在锐角中，分别为角的对边，且．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求面积的取值范围．18．（本小题满分8分）如图，在直三棱柱中，，为线段的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．19．（本小题满分8分）某地4个蔬菜大棚顶部，阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上．这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜，成为该地区居民争相购买的对象．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30以上．其中不足50的周数大约有5周，不低于50且不超过70的周数大约有35周，超过70的大约有10周．根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量（百斤）与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图：（Ⅰ）依据数据的折线图，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；并根据所求线性回归方程，估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量是多少斤？（Ⅱ）因蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响，为该基地提供了部分光照控制仪，该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：周光照量（单位：小时）光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为5000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损800元，欲使商家周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：回归方程系数公式：．20．（本小题满分12分）已知是抛物线上一点，到直线的距离为，到的准线的距离为，且的最小值为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）直线交于点，直线交于点，线段的中点分别为，若，直线的斜率为，求证：直线恒过定点．21．（本小题满分12分）已知函数（，为自然对数的底数）在点处的切线经过点．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．22．（本小题满分14分）设，，，，是5个正实数（可以相等）．证明：一定存在4个互不相同的下标，，，，使得．23．（本小题满分8分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系中，直线的方程为：，直线的方程为．（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程，并指出它是何种曲线；（Ⅱ）设与曲线交于两点，与曲线交于两点，求四边形面积的取值范围．理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）题号123456789101112答案CBBDCCBACBDA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13．－214．15．16．三、解答题（本大题共7小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．解：（Ⅰ）∵，∴①，又∵，∴②，又③，················································（2分）将①，②，