初中数学竞赛-数论-同余方程-学生版.docx

PAGE\*MERGEFORMAT16初中数学竞赛课程《同余方程》.学生版/NUMPAGES10中考考纲考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用剩余类的概念剩余类的概念√同余方程同余方程的概念√一次同余方程（组）√可化为一次同余方程的同余方程√简单的高次同余方程√知识架构剩余类的概念同余方程同余方程的定义一次同余方程（组）可化为一次同余方程的同余方程同余方程简单的高次同余方程模块一：剩余类的概念知识精讲一、剩余类概念一般的，任何一个整数被一个非零的整数除，可以得到商和余数，即.这里的只能取，，，，这个值.全体整数可按对模是否同余分为若干两两不相交的集合，使得在同一个集合中的任意两个数对模一定同余，而属于不同集合中的两个数对模一定不同余.每一个这样的集合称为模的同余类，或模的剩余类.由模的每个同余类中取定一个数作为代表构成一组数，这组数就称为模的一个完全剩余系.二、剩余类的性质1、每一个整数一定包含在而且仅包含在模的一个剩余类中.2、整数所属的模的剩余类中的每一个数都可以写成的形式，这里是整数，用符号表示所属的模的剩余类，则这条性质的数学表达式为：.3、整数，在模的同一个剩余类中的充要条件是，对模同余，即4、在任意取定的个整数中，必有两个整数对模同余.5、个整数，，，是模的一组完全剩余系的充要条件是，，，中任意两个数对模都不同余.6、如果，，，是模的一组完全剩余系，那么对任意的整数，，，，也是模的一组完全剩余系.7、设，，，是个整数，如果，，，是模的一组完全剩余系，那么，，，也是模的一组完全剩余系.例题解析求证：一定存在整数，使能被整除，并求出这些数.已知，，为正整数，求证：已知整数，，满足，求证：，，中至少有一个能被整除.求证：方程无整数解.模块二：一次同余方程（组）知识精讲同余方程的概念对于次整系数多项式，就叫做模的同余方程.使同余方程成立的的值叫做同余方程的解.显然，若是同余方程的一个解，则剩余类中的每一个数都是这个方程的解.二、一次同余方程设，则叫做模的一次同余方程.如果是方程的一个解，那么也是这个方程的一个解，即剩余类中的任何一个数都是这个方程的解，这些解都看做是相同的.把剩余类称为同余方程的一个解，记作因此，在解同余方程的时候，只需在任意取定的模的一组完全剩余系中求解模的同余方程，就可获得这个方程的全部解.说明：1、解模的一次同余方程，可以取模的一个完全剩余系直接计算.这个方法也适用于其它的同余方程.2、模的一次同余方程（）有解的充要条件是3、若正整数，则方程的解与方程的解相同.利用这条性质可以将较大模数的同余方程化为较小模数的同余方程.三、一般一次同余方程组的解法设，，是两两互质的正整数，则同余方程组的解是，其中，，；，，；，，四、中国剩余定理中国剩余定理：设，，，是个两两互质的正整数，对任意整数，，，，则同余方程组有且只有一个解，其中，，（）以及（）五、可化为一次同余方程组的同余方程由同余式的性质我们可以把一个同余方程转化为同余方程组来求解.特别是当模比较大的时候，可以通过对模进行因数分解，把这个同余方程转化为较小模的同余方程.例题解析解下列同余方程：（1）（2）同余方程的解和方程的解是否相同，请说明理由.解同余方程解同余方程解同余方程解同余方程组解同余方程组解同余方程组解下列同余方程组（1）（2）解下列同余方程（1）（2）模块三：简单的高次同余方程知识精讲一、二次同余方程的解法若模的完全剩余系的数较小，则可以取模的一个完全剩余系进行直接计算；当模非常大而且是合数时，可以将模因数分解，将同余方程转化为同余方程组求解.例题解析解方程：．解下列同余方程（1）（2）求一组大于的三个连续整数，使其分别为，，的倍数．求一个最小的正整数，使它的是完全平方数，它的是一个整数的次方，它的是一个数的次方.随堂练习求同余式的解.一支总人数是的倍数且不少于的游行队伍，若每横排人编队，最后差人；若每横排人编队，最后差人；若每横排人编队，最后差人.问这支队伍人数最少是多少人？求除以余，除以余，除以余的所有三位数的和.一个七位数能被和整除，那么这个七位数的后三位数是__________.课后作业求一个数，使它被除余；被除余；被除余.解下列同余方程：（１）（２）（３）