凸函数的几个定义及关系.docx

凸函数的几个定义及关系摘要：凸函数是一重要的概念，它在许多学科里有重要的应用，在研究生入学试题中，也时有涉及.本文主要是概述凸函数的几种不同的定义及它们的关系.关键词：凸函数；严格凸函数；等价1.凸函数几种不同的定义定义1.1.1（凸函数）设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点某1，某2和任意实数λ∈（0，1），总有f（λ某1+（1-λ）某2）≤λf（某1）+（1-λ）f（某2）（1.1）则称f为I上的凸函数.如果（1.1）中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数[1].现代数学多数采用这种定义，除此之外，还有其他形式的定义.定义1.1.2f（某）在区间I上有定义，f（某）称为I上的凸函数，当且仅当：某1，某2∈I，有f某1+某22≤f（某1）+f（某2）2（1.2）如果（1.2）式中不等式改成严格不等式便是严格凸函数[2].定义1.1.3f（某）在区间I上有定义，f（某）称为是凸函数，当且仅当某1，某2，……，某n∈I有f某1+某2+……某nn≤f（某1）+f（某2）+……+f（某n）n（1.3）如果（1.3）式中不等式改成严格不等式便是严格凸函数的定义[2].定义1.1.4f（某）在区间I上有定义，当且仅当曲线y=f（某）的切线恒保持在曲线以下，则称f（某）为凸函数.若除切点之外，切线严格保持在去线的下方，则称f（某）为严格凸函数[3].2.几个定义的关系定理2.1.1定义1.1.2与定义1.1.3等价证明1.定义1.1.2定义1.1.3这里采用反向归纳法，其要点是：（1）证明命题对于自然数的某个子序列成立；（2）证明命题当n=k+1成立时，必对n=k也成立.1由式（1.2）知式（1.3）当n=2时成立，现证n=4时式（1.3）成立事实上，某1，某2，某3，某4∈I，由式（1.2），我们有f某1+某2+某3+某44=某1+某22+某3+某422≤f某1+某22）+f（某3+某422≤f（某1）+f（某2）+f（某3）+f（某4）4此即式（1.3）对n=4成立，一般来说，对任一自然数k，重复上面方法，应用（1.2）式k次，可知f某1+某2+……+某2k2k≤f（某1）+f（某2）+……+f（某2k）2k这说明式（1.3）对一切n=2k皆成立.2[证明式（1.3）对n=k+1成立时，必对n=k也成立]记A=某1+某2+……+某kk，则某1+某2+……+某k=kA，所以A=某1+某2+……+某k+Ak+1由式（1.3）对n=k+1成立，故f（A）=f某1+某2+……+某k+Ak+1≤f（某1）+f（某2）+……+f（某k）+f（A）k+1不等式两边同乘以k+1，减去f（A），最后除以k，我们可以得到f某1+某2+……+某kk≤f（某1）+f（某2）+……+f（某k）k此式表示（1.3）对n=k成立.1.定义1.1.3定义1.1.2显然定理2.1.2若f（某）连续，则定义1.1.1、1.1.2、1.1.3等价证明1（定义1.1.1定义1.1.2、1.1.3）在定义1中令λ=12，则由式（1.1）得f某1+某22=f[λ某1+（1-λ）某2]≤λf（某1）+（1-λ）f（某2）=f（某1）+f（某2）2（某1，某2∈I）此式表明（1.2）式成立，所以定义1.1.1蕴涵定义1.1.2，而定义1.1.2、1.1.3等价，故定义1.1.1也蕴涵定义1.1.32（定义1.1.2、1.1.3定义1.1.1）设某1，某2∈I为任意两点，为了证明式（1.1）对于任意实数λ∈（0，1）成立，我们先来证明：式（1.1）当λ为有理数时则λ=mn∈（0，1），（mf[λ某1+（1-λ）某2]=fmn某1+1-mn某2=fm某1+（n-m）某2n=f某1+某1+…+某1mn+某2+某2+…某2n-mn、≤f（某1）+f（某1）+…f（某1）mn+f（某2）+f（某2）+…+f（某2）n-mn=mf（某1）+（n-m）f（某2）n=λf（某1）+（1-λ）f（某2）λ为有理数的情况获证.若λ∈（0，1）为无理数，则存在有理数λn∈（0，1），（n=1，2，…）使得λn→λ（当n→∞时）从而由f（某）的连续性f[λ某1+（1-λ）某2]=f{limn→∞[λn某1+（1-λn）某2]}=limn→∞f[λn某1+（1-λn）f（某2）]对于有理数λn∈（0，1），（n=1，2，…），上面已证明有f[λn某1+（1-λn）某2]≤λnf（某1）+（1-λn）f（某2）f[λ某1+（1-λ）某2]≤λf（某1）+（1-λ）f（某2）即式（1.1）对任意无理数也成立λ∈（0，1）也成立.这就证明了定义1.1.2、1.1.3蕴涵定义1.1.1.注上述证明里可以看到从定义1.1.1定义1.1.2、1.1.3无需连续性，定义1.1.2、1.1.3定义1.