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凸函数的几个定义及关系摘要：凸函数是一重要的概念它在许多学科里有重要的应用在研究生入学试题中也时有涉及。本文主要是概述凸函数的几种不同的定义及它们的关系。关键词：凸函数;严格凸函数;等价1.凸函数几种不同的定义定义111（凸函数）设f为定义在区间I上的函数若对I上的任意两点x1x2和任意实数λ∈（01）总有fλx1+1-λx2≤λfx1+1-λfx2（11）则称f为I上的凸函数。如果（11）中不等式改为严格不等式则相应的函数称为严格凸函数[1]。现代数学多数采用这种定义除此之外还有其他形式的定义。定义112fx在区间I上有定义fx称为I上的凸函数当且仅当：x1x2∈I有fx1+x22≤fx1+fx22（12）如果（12）式中不等式改成严格不等式便是严格凸函数[2]。定义113fx在区间I上有定义fx称为是凸函数当且仅当x1x2……xn∈I有fx1+x2+……xnn≤fx1+fx2+……+fxnn（13）如果（13）式中不等式改成严格不等式便是严格凸函数的定义[2]。定义114fx在区间I上有定义当且仅当曲线y=fx的切线恒保持在曲线以下则称fx为凸函数。若除切点之外切线严格保持在去线的下方则称fx为严格凸函数[3]。2.几个定义的关系定理211定义112与定义113等价证明1定义112定义113这里采用反向归纳法其要点是：（1）证明命题对于自然数的某个子序列成立;（2）证明命题当n=k+1成立时必对n=k也成立。1由式（12）知式（13）当n=2时成立现证n=4时式（13）成立事实上x1x2x3x4∈I由式（12）我们有fx1+x2+x3+x44=x1+x22+x3+x422≤fx1+x22+fx3+x422≤fx1+fx2+fx3+fx44此即式（13）对n=4成立一般来说对任一自然数k重复上面方法应用（12）式k次可知fx1+x2+……+x2k2k≤fx1+fx2+……+fx2k2k这说明式（13）对一切n=2k皆成立。2[证明式（13）对n=k+1成立时必对n=k也成立]记A=x1+x2+……+xkk则x1+x2+……+xk=kA所以A=x1+x2+……+xk+Ak+1由式（13）对n=k+1成立故fA=fx1+x2+……+xk+Ak+1≤fx1+fx2+……+fxk+fAk+1不等式两边同乘以k+1减去fA最后除以k我们可以得到fx1+x2+……+xkk≤fx1+fx2+……+fxkk此式表示（13）对n=k成立。1定义113定义112显然定理212若fx连续则定义111、112、113等价证明1（定义111定义112、113）在定义1中令λ=12则由式（11）得fx1+x22=f[λx1+（1-λ）x2]≤λfx1+1-λfx2=fx1+fx22x1x2∈I此式表明（12）式成立所以定义111蕴涵定义112而定义112、113等价故定义111也蕴涵定义1132（定义112、113定义111）设x1x2∈I为任意两点为了证明式（11）对于任意实数λ∈01成立我们先来证明：式（11）当λ为有理数时则λ=mn∈01（m<n为自然数）时成立则：fλx1+1-λx2=fmnx1+1-mnx2=fmx1+n-mx2n=fx1+x1+…+x1mn+x2+x2+…x2n-mn、≤f（x1）+fx1+…fx1mn+fx2+fx2+…+fx2n-mn=mfx1+n-mfx2n=λfx1+1-λfx2λ为有理数的情况获证。若λ∈01为无理数则存在有理数λn∈01n=12…使得λnλ（当n∞时）从而由fx的连续性fλx1+1-λx2=flimn∞λnx1+1-λnx2=limn∞fλnx1+1-λnfx2对于有理数λn∈01n=12…上面已证明有fλnx1+1-λnx2≤λnfx1+1-λnfx2此式中令n∞取极限联系上式有fλx1+1-λx2≤λfx1+1-λfx2即式（11）对任意无理数也成立λ∈01也成立。这就证明了定义112、113蕴涵定义111。注上述证明里可以看到从定义111定义11