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KdV方程的近似行波解数学与应用数学专业学生:王芳指导教师:高正晖摘要:本文利用傅里叶级数法,吴消元法获得了KdV方程的多组近似行波解.关键词:KdV方程;傅里叶级数法;吴消元法;近似行波解1引言随着应用科学的发展,使得描述实际现象的非线性偏微分方程越来越突现其重要性.最早用于描述浅水波现象的KdV方程.在经过长时间沉寂后,随着孤波理论的发展,方程本身和解的意义被人们重新认识,吸引了科学家的研究兴趣.人们发现各种不同形式的KdV方程可以描述很多领域中的不同现象.如:弱非线性,弱色散的平面波系统运动,等离子体中的磁流体波.而方程的近似解能使物理现象得到进一步的解释.因此,对数学家、物理学家、工程学家及应用科学工作者来说,寻找对应实用背景方程的近似解一直是大家关注的问题.由于非线性方程问题的复杂性和特殊性,非线性方程没有统一的求解办法,因而出现求解非线性方程的各种方法,如直接积分法,混合指数法,齐次平衡法,双曲函数展开法及Baclund变换法等.所有这些方法都有一定的局限性.本文采用傅里叶级数法和吴文俊消元法,获得了非线性方程KdV的多组近似行波解.2KdV方程的求解方程可表示为:.(1)现在用傅里叶级数法来求解上述方程,为了求解(1)式.令:(2)将(2)式代入方程(1)可得常微分方程:.(3)对(3)式积分一次,取积分常数,得:.(4)由傅里叶级数法,设方程(4)有如下形式的行波解.(5)2.1当时:.(6)其中为待定系数.将(6)式代入(4)式即:(7)令(7)式中的常数项以及各次项的系数为零,得到如下方程组:解得:=1\*GB3\*MERGEFORMAT①=2\*GB3\*MERGEFORMAT②其中为任意常数.于是方程(4)有如下形式的解:=1\*GB3\*MERGEFORMAT①=2\*GB3\*MERGEFORMAT②2.2当时:(8)其中为待定系数.将(8)式代入(4)式即:(9)令(9)中的常数项及各次项的系数为零,得到如下方程组:(10)利用吴消元法解上述关于的方程组得:=1\*GB3\*MERGEFORMAT①=2\*GB3\*MERGEFORMAT②=3\*GB3\*MERGEFORMAT③=4\*GB3\*MERGEFORMAT④=5\*GB3\*MERGEFORMAT⑤=6\*GB3\*MERGEFORMAT⑥=7\*GB3\*MERGEFORMAT⑦=8\*GB3\*MERGEFORMAT⑧其中为任意常数.于是方程(4)有如下形式的解:=1\*GB3\*MERGEFORMAT①=2\*GB3\*MERGEFORMAT②=3\*GB3\*MERGEFORMAT③=4\*GB3\*MERGEFORMAT④=5\*GB3\*MERGEFORMAT⑤=6\*GB3\*MERGEFORMAT⑥=7\*GB3\*MERGEFORMAT⑦=8\*GB3\*MERGEFORMAT⑧3结束语本文以KdV方程为例,介绍了用傅里叶级数法和吴消元法求解近似行波解的方法,从而揭示了求解非线性发展方程精确行波解理论与技巧.参考文献:[1]赵长海.KdV方程的显示行解[J].海南师范大学学报(自然科学版),2010,23(3):142-146.[2]高正晖,罗李平,杨柳.求非线性发展方程精确行波解的几种方法[J].衡阳师范学院学报,2009,30(6):13-17.[3]高正晖.(2+1)维CD方程的精确行波解[J].科学技术与工程,2009,9(8):2122-2125.[4]刘洪林,刘洪元.吴消元法的初等代数形式[J].沈阳师范大学学报(自然科学版),2005,23(3):248-251.[5]刘洪元.吴消元法与四元术[J].辽宁大学学报(自然科学版),2004,1(4):338-341.[6]张克磊.几类非线性波动方程行波解分支的研究[D].桂林:桂林科技大学数学研究所,2010.[7]殷俊.三类广义KdV方程的行波解[D].成都:四川师范大学,2008.[8]傅海明.一类五阶KdV方程行波解[J].鸡西大学学报,2008,8(6):142-143.[9]叶健芬,蔡桂平,虞凤英.利用双曲函数法研究非线性方程的行波解[J].温州师范学院学报(自然科学版),2006,27(2):1-4.[10]李俊焕,郑一.两种方法求KdV方程的新解[J].青岛理工大学学报,2011,32(5):123-126.ApproximateTravelingWaveSolutionsofKdVEquationMathematicsandAppliedMathematicsAuthor:WangFangTutor:GaoZhenghu