初中数学竞赛专题选讲 解三角形(含答案).pdf

初中数学竞赛专题选讲（初三.16）解三角形一、内容提要1.由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形.2.解直角三角形所根据的定理(在Rt△ABC中，∠C=Rt∠).①边与边的关系：勾股定理－－－－――c2=a2+b2.②角与角的关系：两个锐角互余－－－－∠A+∠B=Rt∠③边与角的关系：（锐角三角函数定义）ababSinA=，CosA=,tanA=,CotA=.ccbaA④互余的两个角的三角函数的关系：cbSin(90－A)=CosA，Cos(90－A)=SinA，BCtan(90－A)=CotA,Cot(90－A)=tanA.a⑤特殊角的三角函数值：角A的度数030456090123SinA的值02122132CosA的值12022不313tanA的值0存3在不313CotA的值存03在锐角的正弦、正切随着角度的增大而增大（即增函数）；余弦、余切随着角度的增大而减小（即减函数）.3.解斜三角形所根据的定理(在△ABC中)abc①正弦定理：=2R.(R是△ABC外接圆半径).SinASinBSinC②余弦定理：c2=a2+b2－2abCosC；b2=c2+a2－2caCosB；a2=c2+b2－2cbCosA.③互补的两个角的三角函数的关系：Sin(180－A)=sinA，Cos(180－A)=－cosA，tan(180－A)=－cotA，cotA(180－A)=－tanA.111④S＝absinC=bcsinA=casinB.△ABC222-1-4.与解三角形相关的概念：水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角，方位角等.二、例题例1.已知：四边形ABCD中，∠A＝60，CB⊥AB，CD⊥AD，CB＝2，CD＝1.求：AC的长.解：延长AD和BC相交于E，则∠E＝30.ECD在Rt△ECD中，∵sinE=,CE11∴CE==1÷＝2.EB＝4.sin302DAB1在Rt△EAB中，∵tanE=,EBCy432∴AB=EBtan30。=.360AxB432根据勾股定理AC＝22＋（）2＝21.33又解：连结BD，设AB为x，AD为y.根据勾股定理AC2＝x2+22=y2+12.根据余弦定理BD2＝x2+y2－2xyCos60=22＋12－2×2×1Cos120.x2y230，得方程组x2y2xy70.43解这个方程组，得x=.(以下同上一解)3例2.已知：如图，要测量山AB的高，在和B同一直线上的C，D处,分别测得对A的仰角的度数为n和m，CD=a.试写出表示AB的算式.解：设AB为x，BD为y.在Rt△ABD和Rt△ABC中，Ayxcotm，yaxcotn.xnmxCotm=xCotn－a.CaDyBa∴x=.CotnCotma答：山高AB＝.CotnCotm-2-例3.已知：四边形ABCD中，∠ABC＝135，∠BCD＝120，CD＝6，AB＝6，BC＝5－3.求：AD的长.（1991年全国初中数学联赛题）解：作AE∥BC交CD于E，BF⊥AE于F，CG⊥AE于G..在Rt△ABF中，633BF＝Sin45=,AF＝BF＝.C5－3120在Rt△CGE中，BE1356G36GE＝CGtan30=3×＝1,AF3D∴CE＝2，ED＝4.∴AE=3+5－3+1=6，∠AED＝120.在△AED中，根据余弦定理，得AD2＝62＋42－2×6×4Cos120=76.∴AD＝219.例4.如图，要测量河对岸C，D两个目标之间的距离，在A，B两个测站，测得平面角∠CAB＝30，∠CAD＝45，∠DBC＝75，∠DBA＝45，AB＝3.试求C，D的距离.解：在△ABC中，∵∠ACB＝∠CAB＝30，DC∴＝＝3BCAB,河流∴AC＝23cos30=3.75454530A在△ABD中，∠ADB＝60B3ADAB由正弦定理，＝，sin45sin60AB32AD＝×sin45=3÷×＝2.sin6022在△ACD中，由余弦定理，得CD2＝32＋（2）2－2×3×2Cos45=5∴CD＝5.-3-A1例5.已知：O是凸五边形ABCDE内的一点且8∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8.910B求证：∠9和∠10相等或互补E36O(1985年全国初中数学联赛题)证明：根据正弦定理，得72OAOBOBOCOCOD45sin10sin1sin2sin3sin4sin5DCODOEOEOA=.sin6sin7sin8sin9∴sin10=sin9∴∠9和∠10相等或互补.1例6.已知：二次方程mx2－(m－2)x+(m－1)=0两个不相等的实数根，恰好是直角三4角形两个锐角的正弦值.求：这个直角三角形