韦达定理公式 [“韦达定理的应用”教学纪实与评析].pdf

（本课选自人教版九年义务教育四年制初级中学教科书《代数》第三册§14第二小节.）一、教学目标通过本节课的学习，使学生进一步掌握韦达定理，并能巧妙灵活地利用韦达定理解决问题.逐步培养学生的变式思维和发散思维.激发学生的求知欲，提高其探索数学知识的积极性.培养学生一题多解、一题多变，善于思考问题本质的能力.二、教学重点、难点重点对一类数学知识的拓宽和韦达定理的应用.难点灵活运用所学知识解决学习中遇到的问题.三、教学过程复习提问师同学们，你们学过韦达定理吗？生（齐答）学过.师好！哪位同学能写出定理呢？（学生争着举手，热情很高.）生韦达定理的内容是两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项的系数.师哪位同学有异议？（部分学生举手.）生我认为前面同学说得不完整，韦达定理应这样表述一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分师好！这位同学表达得非常准确，请同学们一定要注意韦达定理只适用于一元二次方程.师韦达定理是初中代数中一个非常重要的定理.通过前面的学习，你认为韦达定理有哪些应用呢？（稍停片刻，找几名学生口述.）生利用韦达定理可求值.生利用韦达定理可构造方程.生利用韦达定理可进行恒等变形.师同学们说得都很好.韦达定理除以上应用之外，这节课我们再来学习一下韦达定理在其他类型题上的应用.[评析通过对韦达定理的复习，能使学生进一步掌握韦达定理的基本内容，并使学生对韦达定理有一个初步的总结和归纳.从而很好地培养学生学习、总结、归纳的数学思想.]新课过程例1已知a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，且a≠b.求a+b的值.师我们分4个小组，然后每小组选一个代表谈本组的做法.（给学生5分钟时间，班级很静，给学生营造了很好的学习气氛.）第1组我们组认为可分别求出a、b的值，然后再求a+b的值.第2组:我组认为a2-3a+1=b2-3b+1，∴a2-b2-3a+3b=0，(a-b)(a+b-3)=0.∵a≠b，∴a+b-3=0.即a+b=第3组我组认为第一组虽然能求出a+b的值，但解方程不好解，特别是一元二次方程的系数比较大时，更不好解（此时一个学生补充方程还可能出现无解的情况，.这时如何求a、b的值呢？所以我认为第2组的方法比较好.）第4组（学生迫不及待地发言）第2组的做法虽然很好，但也不是最好的.我组认为本题使用韦达定理会更简捷、省时、省力.师（马上把话接过来）第4小组的想法很有新意，下面请第4小组的代表到前面给同学板演一下，好不好？生（齐答）好！（这时学习气氛非常高涨.）第4组我组通过观察发现两方程虽然未知数不同，但未知数的系数是相同的.又因为a≠b所以我们重新构建一个新的一元二次方程x2-3x+1=0.由于该方程的判断式Δ=5?0，∴该方程一定有两个不相等的实数根，即x1、x因此，我们就可以把a、b看作是关于x的一元二次方程x2-3x+1=0的两个不等实根.根据韦达定理可知a+b=师同学们赞同第4组的做法吗？生同意.（齐声答.）[评析教师提出问题后，以小组形式讨论、研究把“竞争”意识引入课堂，充分体现了学生是学习的主人，教师是引导者、组织者、合作者的新的教学理念.]师第4组做法很好，很有新意.这种做法正是我们这节课的主题.师根据第4小组的做法，请同学们思考下面几个问题.①若要使用此类办法，其两个方程有何特点？②为什么要加上条件a≠b.（给学生5分钟思考，然后讨论.这样让学生带着问题去思考，为下面学习做准备.）生我认为所给两方程必须都是一元二次方程并且系数相同.生因为所给方程的“Δ”是大于0的，也就是说方程有两个不等实数根，所以必须有a≠b的条件.师以上两位同学说得非常好，下面我们看变式练习，以上条件均不变.变式1已知a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，且a≠b.求a2b+ab2的值.（学生根据以上讲解，很快利用韦达定理求出了值.）A.x2+7x+1=0B.x2+7x-1=0C.x2-7x+1=0D.x2-7x-1=0（学生口答，教师指正.）归纳总结（先由学生讨论，教师归纳、总结写在黑板一侧.）①两方程的系数相同，根不同.②在所求的代数式不能直接代入时，应进行恒等变形，然后代入.③不要直接解一元二次方程.[评析通过上面的总结、讨论，使学生在解决问题时有一种“水到渠成”的感觉，从而突出了本节的重点，为下面的教学分散了难点.]引申教学师前面同学们已经做得很好了！我们知道两个一元二次方程只要满足“形式”即可使用韦达定理，那么如果所给两个一元二次方程的形式不同，是否可以使用韦达定理加以解决