中考数学专题复习之圆的探究训练题.pdf

中考数学专题复习之圆的探究训练题1．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图1、2）；Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图3）；Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端，点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）．（1）在图1、2中，取AC的中点O，根据得OA＝OB＝OC＝OD，即A，B，C，D共圆；（2）在图3中，画⊙O经过点A，B，D（图5）．假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，可得＝180°，所以∠BED＝，得出矛盾；同理点C也不会落在⊙O内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．（3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．已知：如图6，锐角三角形ABC的高BD，CE相交于点H，射线AH交BC于点F．求证：AF是△ABC的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）（4）如图7，点P是△ABC外部一点，过P作直线AB，BC，CA的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在△ABC的外接圆上．2．已知，BF为⊙O直径，弦AB交弦CD于点E，连接AD、CF、BC，AD＝CF．（1）如图1，求证：AB⊥CD；（2）如图2，连接CG，点G为BE上一点，连接CG，若∠CGB﹣∠F＝2∠CBF，求证：AE＝EG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，BD＝CG，过点A作⊙O的切线交CF的延1长线于点H，过点B作BK⊥BC，作CK∥BF交BK于点K，连接DK，若tan∠BCG，=2AH＝2√5，求DK的长．3．【问题提出】苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题：1．如图（1），在⊙O的内接四边形ABCD中，BD是⊙O的直径．∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？2．如图（2），若圆心O不在⊙O的内接四边形ABCD的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？（1）小明发现问题1中的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明：∵BD是⊙O的直径，∴，∴∠A+∠C＝180°，∵四边形内角和等于360°，∴．（2）请回答问题2，并说明理由；【深入探究】如图（3），⊙O的内接四边形ABCD恰有一个内切圆⊙I，切点分别是点E、F、G、H，连接GH，EF．（3）直接写出四边形ABCD边满足的数量关系；（4）探究EF、GH满足的位置关系；（5）如图（4），若∠C＝90°，BC＝3，CD＝2，请直接写出图中阴影部分的面积．4．如图：在矩形ABCD中，AB＝22，AD＝16，点O在线段DE上，其中DE＝26，EO＝6；以OE为半径作圆O交线段AB于点P，并将线段OP绕点O逆时针旋转90°得线段OQ．（备注：若圆O与AB有两个交点，规定位于点O上方的交点为点P）特例探究：（1）如图1，当点E在射线DA上时，AP＝，点Q到直线DE的距离是；变式研究：当点E在AD上方时，（2）如图2，当点O落在线段AB上时，求点P、Q到直线DE的距离之比；（3）当圆O与BC边相切时，求线段AP的长；（4）若点O到AB的距离为3，直接写出点Q到AD的距离．5．（2022•罗湖区模拟）在⊙O中，弦CD平分圆周角∠ACB，连接AB，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；1（2）若tan∠CAB，且B是CE的中点，O的直径是，求DE的长．=3⊙√10（3）P是弦AB下方圆上的一个动点，连接AP和BP，过点D作DH⊥BP于点H，请探究点P在运动的过程中，ᵃᵃ的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．ᵃᵄ+ᵃᵄ6．（2022•南岗区模拟）如图，AB为⊙O直径，弦CD交AO于E，连接BD、BC．（1）求证：∠C+∠ABD＝90°；（2）若∠ABC＝2∠ABD，求证：CB＝BE；（3）在（2）的条件下，连接AC，F、G在AC、BC上，且CF＝CG，连接EF、EG，∠FEG＝90°，连接BF，∠CFB＝∠CGE，BG＝2√10，求BD的长．7．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法过圆外一点作圆的切线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小强：如图（1），连接OP，作线段OP的垂直平分线BC，交OP于点A；以点A为圆心，OA长为半径作⊙A，交⊙O于点D；作直线PD，则PD即为过点P的⊙O的切线．简述理由如下：连接OD，因为OP是⊙A的直径，所以∠ODP＝90°，所以OD⊥DP．又因为OD是⊙O的半径，所以PD是⊙O的切线．小刚：我认为小强的作用方法有创新，但作弧的次数多，可进行如下改进；如图（2），作直线OP交⊙O于A，B两点，以点O为圆心，OP长为半径作大⊙O，交直线OP于点C；以点C为圆心，AB长为半径作⊙O，交大