等差数列专题.doc

等差数列专题一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1.等差数列得定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它得前一项得差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列得公差,公差通常用字母d表示.2.等差数列得通项公式若等差数列{an}得首项就是a1,公差就是d,则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝(n－m)d＝p、3.等差中项如果三个数x,A,y组成等差数列,那么A叫做x与y得等差中项,如果A就是x与y得等差中项,则A＝eq\f(x＋y,2)、4.等差数列得常用性质(1)通项公式得推广:an＝am＋(n－m)d(n,m∈N*).(2)若{an}为等差数列,且m＋n＝p＋q,则am＋an＝ap＋aq(m,n,p,q∈N*).(3)若{an}就是等差数列,公差为d,则ak,ak＋m,ak＋2m,…(k,m∈N*)就是公差为md得等差数列.(4)数列Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…也就是等差数列.(5)S2n－1＝(2n－1)an、(6)若n为偶数,则S偶－S奇＝eq\f(nd,2);若n为奇数,则S奇－S偶＝a中(中间项).5.等差数列得前n项与公式若已知首项a1与末项an,则Sn＝eq\f(na1＋an,2),或等差数列{an}得首项就是a1,公差就是d,则其前n项与公式为Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d、6.等差数列得前n项与公式与函数得关系Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n,数列{an}就是等差数列得充要条件就是Sn＝An2＋Bn(A,B为常数).7.最值问题在等差数列{an}中,a1＞0,d＜0,则Sn存在最大值,若a1＜0,d＞0,则Sn存在最小值.一个推导利用倒序相加法推导等差数列得前n项与公式:Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an,①Sn＝an＋an－1＋…＋a1,②①＋②得:Sn＝eq\f(na1＋an,2)、两个技巧已知三个或四个数组成等差数列得一类问题,要善于设元.(1)若奇数个数成等差数列且与为定值时,可设为…,a－2d,a－d,a,a＋d,a＋2d,…、(2)若偶数个数成等差数列且与为定值时,可设为…,a－3d,a－d,a＋d,a＋3d,…,其余各项再依据等差数列得定义进行对称设元.四种方法等差数列得判断方法(1)定义法:对于n≥2得任意自然数,验证an－an－1为同一常数;(2)等差中项法:验证2an－1＝an＋an－2(n≥3,n∈N*)都成立;(3)通项公式法:验证an＝pn＋q;(4)前n项与公式法:验证Sn＝An2＋Bn、注:后两种方法只能用来判断就是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.回顾:1.已知等差数列{an}中,a3=9,a9=3,则公差d得值为()A.B.1C.D.﹣12.已知数列{an}得通项公式就是an=2n+5,则此数列就是()A.以7为首项,公差为2得等差数列B.以7为首项,公差为5得等差数列C.以5为首项,公差为2得等差数列D.不就是等差数列3.在等差数列{an}中,a1=13,a3=12,若an=2,则n等于()A.23B.24C.25D.264.两个数1与5得等差中项就是()A.1B.3C.2D.5.(2005•黑龙江)如果数列{an}就是等差数列,则()A.a1+a8＞a4+a5B.a1+a8=a4+a5C.a1+a8＜a4+a5D.a1a8=a4a5考点1:等差数列得通项与前n项与题型1:已知等差数列得某些项,求某项【解题思路】给项求项问题,先考虑利用等差数列得性质,再考虑基本量法【例1】已知为等差数列,,则解:方法1:方法2:,方法3:令,则方法4:为等差数列,也成等差数列,设其公差为,则为首项,为第4项、方法5:为等差数列,三点共线对应练习:1、已知为等差数列,(互不相等),求、2、已知个数成等差数列,它们得与为,平方与为,求这个数、题型2:已知前项与及其某项,求项数、【解题思路】⑴利用等差数列得通项公式求出及,代入可求项数;⑵利用等差数列得前4项与及后4项与求出,代入可求项数、【例2】已知为等差数列得前项与,,求解:设等差数列得首项为,公差为,则对应练习:3、若一个等差数列得前4项与为36,后4项与为124,且所有