等差数列专题.doc

(完整word)等差数列专题(完整word)等差数列专题(完整word)等差数列专题等差数列专题一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1．等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式若等差数列{an｝的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋（n－1)d＝（n－m)d＝p.3．等差中项如果三个数x,A，y组成等差数列,那么A叫做x和y的等差中项,如果A是x和y的等差中项，则A＝eq\f(x＋y,2)。4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an＝am＋（n－m)d（n，m∈N＊）．(2)若{an}为等差数列,且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq（m，n，p，q∈N*)．(3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m,…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列．(4）数列Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…也是等差数列．(5)S2n－1＝（2n－1）an。（6)若n为偶数，则S偶－S奇＝eq\f(nd,2)；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中（中间项)．5．等差数列的前n项和公式若已知首项a1和末项an,则Sn＝eq\f(na1＋an,2），或等差数列{an}的首项是a1,公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋eq\f（nn－1,2)d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝eq\f（d，2）n2＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（a1－\f（d,2）））n,数列｛an｝是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A,B为常数)．7．最值问题在等差数列{an｝中,a1＞0，d＜0,则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1,②①＋②得:Sn＝eq\f(na1＋an,2)。两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a,a＋d，a＋2d，….（2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a－3d，a－d，a＋d,a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．四种方法等差数列的判断方法（1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数;（2)等差中项法:验证2an－1＝an＋an－2（n≥3,n∈N*)都成立；（3)通项公式法：验证an＝pn＋q；（4）前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．回顾：1．已知等差数列{an}中,a3=9，a9=3，则公差d的值为()A．B．1C．D．﹣12．已知数列{an}的通项公式是an=2n+5,则此数列是（）A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列3．在等差数列｛an}中，a1=13,a3=12，若an=2，则n等于（)A．23B．24C．25D．264．两个数1与5的等差中项是（）A．1B．3C．2D．5．（2005•黑龙江)如果数列｛an}是等差数列，则()A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5考点1:等差数列的通项与前n项和题型1：已知等差数列的某些项,求某项【解题思路】给项求项问题,先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法【例1】已知为等差数列，，则解：方法1：方法2:，方法3：令,则方法4：为等差数列,也成等差数列，设其公差为，则为首项，为第4项。方法5：为等差数列，三点共线对应练习：1、已知为等差数列，（互不相等），求。2、已知个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数.题型2：已知前项和及其某项,求项数.【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式求出及,代入可求项数；⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出，代入可求项数.【例2】已知为等差数列的前项和，，求解：设等差数列的首项为，公差为,则对应练习：3、若一个等差数列的前4项和为36,后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数.4.已知为等差数列的前项和,,则.题型3：求等差数列的前n项和【解题思路】（1）利用求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.(2）含绝对值符号的数列求和问题,要注意分类讨论.【例3】已知为等差数列的前项和，。(1）；⑵求；⑶求。解：,当时，，当时，，当时，,。由，得，当时,;当时，。（1)；⑵;（3