2021年湖北省黄冈中学(黄冈预录)自主招生数学模拟试卷(二).pdf

2021年湖北省黄冈中学（黄冈预录）自主招生数学模拟试卷（二）一、选择题（每小题5分，共30分）1已知过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限，设s＝a﹣2b，则s的取值范围是（）A．B．﹣3＜s≤3C．﹣6＜s≤D．2有下列四个命题：①若x2＝4，则x＝2；②若，则；③命题“若a＞b，则am2＞bm2”的逆命题；④若一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是1和2，则方程cx2﹣bx+a＝0的两根是﹣1和．其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个3若函数，当自变量取1，2，3，…，100个自然数时，函数值的和是（）A．374B．390C．765D．5784如图，在矩形ABCD中，E是BC上的点，F是CD上的点，S＝S＝，则＝△ABE△ADF（）A．3B．C．5D．5如图，Rt三角形ABC位于第一象限，AB＝4，AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若函数的图象与△ABC有交点，则k的最大值是（）A．5B．C．D．46如图，已知⊙O上的两条弦AC和BC互相垂直于点C，点D在弦BC上，点E在弦AC上，且BD＝AE，连接AD和BE，点P为BE中点，点Q为AD中点，射线QP与线段BC交于点N，若∠A＝30°，NQ＝，则DQ的长为（）A．B．C．D．4二、填空题（每小题5分，共30分）7已知α为锐角，＝，则tanα＝．8方程|1﹣|x+1||﹣3k＝kx有三个实数根，则k＝．9从﹣3，﹣2，﹣1，﹣，0，，1，2，3这9个数中随机抽取一个数，记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有非负整数解，那么从这9个数中抽到满足条件的m的概率是．10把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分为A、B两个部分，其中A部分的元素之和等于B部分的元素之积，则A部分的数是，B部分的数是．11如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为2，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于．12如图，正方形ABCD中，AB＝4，E是BC中点，CD上有一动点M，连接EM、BM，将△BEM沿着BM翻折得到△BFM，连接DF，CF，则的最小值为．三、解答题（每小题12分，共60分）13已知正整数x，y满足2xy+x+y＝117，求x+y的值．14已知一列数如下规律排列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项20，接下来的两项20，21，再接下来的三象20，21，22，依此类推．（1）第10个1是这列数的第几项；（2）该列数的第2018项为多少？（3）求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该列数的前N项和为2的整数幂．（参考公式：1+q++q2+…+qn）＝15如图，△ABC中，P为BC边上一点，E为线段PC的中垂线与边AC的交点，D为线段BP的中垂线与边AB的交点，点P关于直线DE的对称点为点Q．（1）证明：A，Q，D，E四点共圆；（2）证明：A，Q，B，C四点共圆．16在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点与的“特别距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“特别距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“特别距离”为|y1﹣y2|．例如：点，点，因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“特别距离”为|2﹣5|＝3，也就是图（1）中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）．（1）已知点，B为y轴上的一个动点．①若点A与点B的“特别距离”为3，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“特别距离”的最小值；（2）已知C是直线上的一个动点，如图（2），点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“特别距离”的最小值及相应的点C的坐标．17如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+p的图象与x轴交于A（﹣1，0），与y轴交于点C．以2直线x＝2为对称轴的抛物线C1：y＝ax+bx+c（a≠0）经过A、C两点，并与x轴正半轴交于点B．2（1）求p的值及抛物线C1：y＝ax+bx+c（a≠0）的函数表达式．2（2）设点D（0，），若F是抛物线C1：y＝ax+bx+c（a≠0）对称轴上使得△ADF的周长取得最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究+是否为定值？请说明理由．2（3）将抛物线C1作适当平移，得到抛物线C2：y2＝﹣（x﹣h），h＞1．若当1＜x≤m时，y2≥﹣x恒成立，求m的最大值．