2021年上海市浦东新区进才中学自主招生数学试卷及答案解析.pdf

2021年上海市浦东新区进才中学自主招生数学试卷一、解答题1．一个小正方形，外面有4个全等的长方形，拼成一个大正方形．问：可以得到什么结论？2．点A在y＝（x＞0）上，点B、C在y＝（x＞0）上，AB∥y轴，AC∥x轴，且＝，求BC的长．二、选择题3．有一个解集为﹣2＜x＜2，它可能是下面哪个不等式组的解集？（a，b均为实数）（）A．B．C．D．4．小明每走5米，顺时针转20°，则（）A．小明不会回到原点B．小明会回到原点，路程小于80mC．小明会回到原点，路程恰为90mD．小明会回到原点，路程大于120m三、解答题5．以P（8，8）为直角顶点的直角三角形的两直角边分别与y轴，x轴交于A、B两点，求OA+OB的值．上海市浦东新区进才中学自主招生数学试卷（）6．一列数7，72，73，…，72021，尾数是3的有几个？7．一列数，第一个数为3，若前一位乘以2为一位数，则下一位为此数；若前一位乘以2为两位数，则取其尾数，求前100位的和．8．5个数x1，x2，x3，x4，x5，平均数为2，方差为，问：3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的方差为多少？9．如图，A（1，0）、B（0，2），有正方形ABB1C，延长B1C与x轴交于A1，以A1B1为边作正方形，以此类推，边长为A2010B2010的正方形（即第2010个）的面积为多少？10．抛物线y＝（x+1）2﹣4与x轴交于点A、B（A在B左侧），与y轴交于点C，M为第三象限抛物线上一点，问：四边形AMCB的面积最大时，M的坐标是？11．如图，小正方形面积为20，大正方形面积为100，求sinθ•cosθ．2222212．已知实数：x1，x2，…，xn（n＞1），x1+x2+…+xn＝a，求（x1﹣x2）+（x1﹣x3）+…2222+（x1﹣xn）+（x2﹣x3）+…+（x2﹣xn）+…+（xn1﹣xn）的最大值．﹣13．若x2﹣2m在﹣1≤x≤2的最小值为﹣2，求m的值．上海市浦东新区进才中学自主招生数学试卷（）2021年上海市浦东新区进才中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、解答题1．【分析】根据正方形的面积公式得到大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，利用面积相等推导出（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．【解答】解：∵大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，4个全等的长方形面积和为4ab，∴得到结论：大正方形面积减去四个长方形面积＝小正方形的面积，即：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．【点评】本题考查全等图形，正方形的面积，完全平方公式的几何意义；熟练掌握正方形的面积公式是解题的关键．2．【分析】设A（a，），则B（a，），C（3a，），根据＝，即可得出＝，求得a的值，即可求得B、C的坐标，根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B、C在y＝（x＞0）上，∴设A（a，），∵AB∥y轴，AC∥x轴，∴B（a，），C（3a，），∴AB＝﹣＝，AC＝3a﹣a＝2a，又∵＝，∴＝，∴a＝，∴B（，2），C（，），∴BC＝＝．上海市浦东新区进才中学自主招生数学试卷参考答案（）【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求得B、C点的坐标是解题的关键．二、选择题3．【分析】根据不等式的解集﹣2＜x＜2，推出﹣x＜1和x＜1．然后从选项中找出有可能的不等式组．【解答】解：∵﹣2＜x＜2，∴x＞﹣2且x＜2，∴﹣x＜1且x＜1，即解集为﹣2＜x＜2的不等式组是，而只有D的形式和的形式相同，∴只有D解集有可能为﹣2＜x＜2．故选：D．【点评】此题考查学生逆向思维，由解来判断不等式，是一道好题；用到的知识点为：大小小大中间找；大大小小无解．4．【分析】先根据已知和多边形的外角和求出组成的多边形的边数，再逐个求出即可．【解答】解：根据题意可知：组成的多边形的边数360°÷20°＝18，小明走的路程总和是18×5m＝90（m），所以小明会回到原点，路程恰为90m．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和和外角和定理，能熟记多边形的外角和等于360°是解此题的关键．三、解答题5．【分析】作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，求出∠NPB＝∠MPA，证明△PAM≌△PBN，推出AM＝BN，OM＝ON即可．【解答】解：作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，则四边形PNOM是正方形，∴PN＝PM＝ON＝OM＝8，∠PMA＝∠PNB＝90°，∠NPM＝∠APB＝90°，∴∠NPB＝∠MPA，上海市浦东新区进才中学自主招生数学试卷参考答案（）在△PNB和△PMA中，，∴△PAM≌△PBN（ASA），则AM＝BN，OM＝ON，∴OA+OB＝OM+ON＝16．【点