中考数学复习圆的综合专项易错题及详细答案_图文.pdf

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知Rt△ABC中，C=90°，O在AC上，以OC为半径作⊙O，切AB于D点，且BC=BD．（1）求证：AB为⊙O的切线；3（2）若BC=6，sinA=，求⊙O的半径；5（3）在（2）的条件下，P点在⊙O上为一动点，求BP的最大值与最小值.【答案】（1）连OD，证明略；（2）半径为3；（3）最大值35+3，35-3.【解析】分析：（1）连接OD，OB，证明△ODB≌△OCB即可.34（2）由sinA=且BC=6可知，AB=10且cosA=，然后求出OD的长度即可.55（3）由三角形的三边关系，可知当连接OB交⊙O于点E、F，当点P分别于点E、F重合时，BP分别取最小值和最大值.详解：（1）如图：连接OD、OB.在△ODB和△OCB中：OD=OC,OB=OB,BC=BD;∴△ODB≌△OCB（SSS）.∴∠ODB=∠C=90°.∴AB为⊙O的切线.（2）如图：3CB3∵sinA=，∴,5AB5∵BC=6，∴AB=10,∵BD=BC=6,∴AD=AB-BD=4,34∵sinA=，∴cosA=，55∴OA=5，∴OD=3，即⊙O的半径为：3.（3）如图：连接OB，交⊙O为点E、F，由三角形的三边关系可知：当P点与E点重合时，PB取最小值.由（2）可知：OD=3，DB=6,∴OB=326235.∴PB=OB-OE=353.当P点与F点重合时，PB去最大值，PB=OP+OB=3+35.点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识.关键是对三角函数值、勾股定理、全等三角形判定与性质的理解.2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，BC=6cm,AC=8cm,∠BAD=45°．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）求图中阴影部分的面积.25-50【答案】(1)见解析;(2).4【解析】分析：（1）根据圆周角定理及推论证得∠BAE=90°，即可得到AE是⊙O的切线；（2）连接OD，用扇形ODA的面积减去△AOD的面积即可.详解：证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠BAC+∠ABC=90°，∵∠EAC=∠ADC，∠ADC=∠ABC，∴∠EAC=∠ABC∴∠BAC+∠EAC=90°，即∠BAE=90°∴直线AE是⊙O的切线；（2）连接OD∵BC=6AC=8∴AB628210∴OA=5又∵OD=OA∴∠ADO=∠BAD=45°∴∠AOD=90°∴S＝SS阴影扇形ODAAOD901=555536022550（cm2）4点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应用.3．已知⊙O中，弦AB=AC，点P是∠BAC所对弧上一动点，连接PA，PB．（1）如图①，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，连接PC，求证：∠ACP+∠ACQ=180°；（2）如图②，若∠BAC=60°，试探究PA、PB、PC之间的关系．（3）若∠BAC=120°时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明．【答案】（1）证明见解析；（2）PA=PB+PC．理由见解析；（3）若∠BAC=120°时，（2）中的结论不成立，3PA=PB+PC．【解析】试题分析：（1）如图①，连接PC．根据“内接四边形的对角互补的性质”即可证得结论；（2）如图②，通过作辅助线BC、PE、CE（连接BC，延长BP至E，使PE=PC，连接CE）构建等边△PCE和全等三角形△BEC≌△APC；然后利用全等三角形的对应边相等和线段间的和差关系可以求得PA=PB+PC；（3）如图③，在线段PC上截取PQ，使PQ=PB，过点A作AG⊥PC于点G．利用全等三角形△ABP≌△AQP（SAS）的对应边相等推知AB=AQ，PB=PG，将PA、PB、PC的数量关系转化到△APC中来求即可．试题解析：（1）如图①，连接PC．∵△ACQ是由△ABP绕点A逆时针旋转得到的，∴∠ABP=∠ACQ．由图①知，点A、B、P、C四点共圆，∴∠ACP+∠ABP=180°（圆内接四边形的对角互补），∴∠ACP+∠ACQ=180°（等量代换）；（2）PA=PB+PC．理由如下：如图②，连接BC，延长BP至E，使PE=PC，连接CE．∵弦AB=弦AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形（有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形）．∵A、B、P、C四点共圆，∴∠BAC+∠BPC=180°（圆内接四边形的对角互补），∵∠BPC+∠EPC=180°，∴∠BAC=∠CPE=60°，∵PE=PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE=PC，∠