多项式除法中商与余式的显式表达.pdf

第２７卷第２期高师理科学刊Ｖｏｌ＿２７Ｎｏ－２２００７往３月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅｏｆＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅａｎｄＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＭａｒ．２ｏｏ７文章编号：１００７－９８３１（２００７）０２－０００９—０４多项式除法中商与余式的显式表达王路群，刘象武（哈尔滨师范大学恒星学院数学与计算机系，黑龙江哈尔滨１５００２５）摘要：利用矩阵方法，给出多项式除法中商与余式的显式表达式关键词：多项式；除法；商；余式；矩阵中图分类号：０１５１．２文献标识码：Ａ在现今的高等代数教材中，多数都并行３种理论体系：多项式代数（整除理论、根理论初步与多元多项式理论初步）、线性代数与群、环、域理论初步．其中线性代数部分篇幅最大，它的文字容量通常为其余部分的５倍以上ｕ．可见，线性代数内容在高等代数中占有极其重要的位置．从内容上讲，线性代数对另２部分的影响大吗？流行的教材里，多项式互素的判定以及二元高次联立方程组解法都用到了行列式（结式）ｕｌｌ。与线性方程组理论．更多的影响，很少见了．本文指出，在多项式整除理论中具有核心作用的带余除法ｕ，都可用线性代数方法去处理，并得到商与余式的矩阵表达式．从定量的角度，处理了带余除法．这不但免去扩域上多项式整除不变性以及首项系数为１的最大公因式不变性的证明，也为计算商与余式带来方便．这突破了原来的多项式整除理论的体系，为重新整合高等代数内容，提供了思想与方法．设Ｆ是一个域，ｚ＋表示正整数集．当ｍ，∈Ｚ时，以Ｙ表示Ｆ上的ｍ×矩阵全体，以表示Ｆ上的×矩阵全体．Ｆ［ｘ１表示Ｆ上的关于未定元的一元多项式环．１ｑ引理１设Ｒ是一个整环，∈Ｚ，２，口ｆ∈Ｒ，ｉ＝１，…，一１，Ａ＝则Ａ●●●，１●●●口口１１１一可逆，且１６１Ａ一１＝●●●１●●●６１１一其中ｂＩ＝（一１）∑口‘ｋ＝１，…，一１（２）ｔ＝ｌｆ．＋＋ｆ＝七．。收稿日期：２００６—１０－２０基金项目：黑龙江省高教学会“十一五”规划项目（１１５Ｃ－５８０）作者简介：王路群（１９４２一），男，黑龙江哈尔滨人，教授，硕士，从事典型群研究．Ｅ－ｍａｉｌ：ｗａｎｇｌｕｑｕｎ０４５１＠１６３ｍｍｌＯ高师理科学刊第２７卷０七＜，证明设＝（ｃ盯）…，经计算ｃ蚵，＝ｌｋ＝ｌｋ－Ｉ－ｌａｋ＋ｂ＋ａｂｋ＞ｌｌｌｌ—ｍ—ｌ……ｂｌ１一ｍ＝ｌ—一当ｋ＞，时，代入（２）６ｋ－Ｉｋ－Ｉ—ｌｋ－Ｉ一一ｃＨ＝∑（一１）∑ａｆ…ａｆ＋∑口∑（一１）∑口…口．ｉｉｔ＝２十·＿＋ｆ．：七一，∑‰∑坍：ｌ：ｌｊＩ＋’“＋ｊ：ｋ—ｌ—ｍ．ｋ－Ｉ－Ｉ∑（一１）Ｈ＋∑ｋ－Ｉ－ｌｋ－Ｉ－∑（一）＝ａ…口口ｔ＝ｌｆ．＋·ｍ＝ｌｓ＝ｌｉ＋…＋ｌ＋…＋＋ｍ＝ｋ－Ｉｋ－Ｉ－ｌ～～ｋ－Ｉ—ｌ∑（一１）∑（一＝一＋＋…五＋＋ｌ：七一，…口口叶ｔ＝ｌｔ十＝ｌｓ．．∑（一１）∑口￣＂ａｊａｋｌ＿２＋（－１）Ｚａ口，一ｌ＿一ｓ＝ｌＪｌ十＿．＋＋（—ｉ一２）＝一，，＋（一，一１）：一，ｋ－Ｉ一１∑（一∑ａｆ…ａ＋∑（一１ｋ－Ｉ－ｌ）∑ａ，…ａ＝一ｋ－Ｉ‘Ｉｉ＋ｌ：２十＿＋ｌ＝一，‘…＝·［兰耋童三］，则可逆，且推论在引理的假设下，若口。是尺中的单位，＝＝，●●●●●●●●●，、●●●●●●【ｌ口０一１ｂａＯ－其中６∑（～）ｔａｏ－ｔ－１口‘…口‘，七＝一，●●●●●●－●●，ｔ＝ｌＨｆ．＋…ｆ＝七：●●●ｂ一［三·．＝＝三］～＝—ａ●１２ａ●例设口∈尺，则阶方阵（一１）ａ………一口１ａ２ａ１．．．．．．．．．——为讨论方便，以下讨论的多项式其系数域为域．推广到整环上，读者不言自明．定理１设，∈Ｚ，ｍ≥１，域，上多项式厂（）＝ａｏ＋…＋口ｏ＋口，ｇ（）＝６ｏ＋…＋６＋ｌｂ，ｇ（），，（）分别表示厂（）除ｇ（）的商与余式，则ｒ６］一ｇｃ，＝ｃ一Ｈ，…，，，『［６ｍ－ｎ¨］一一［６二ｂｏ］］（３），．ｃ，＝ｃ～，…，，，，（４）其中Ａ∈Ｆ…＋】’第２期王路群等：多项式除法中商与余式的显式表达ｌ１ｆ口０口ｌ１０（，Ｂ）＝Ｉ口０ｌＩ…０●●●Ｏ证明易见存在，上多项式ｇ（）＝ｃ。一＋…＋ｃｒ（）＝０＋…＋，使得ｇ（）＝ｇ（）厂（）＋ｒ（ｘ），即＋６＝∑ｌｍ－薹．】一ｂｏｘ＋…＋口ｃ一＋ｌ一ｆ＃０对比系数后，上式又等价于ｃ，ｋ＝０，…，一；ｄ口ｃ，，＝—ｎ＋ｌ，…，＝＝Ｊ＋Ｊ＝．。ｌ＋Ｊ，，ａ０Ｃ０ｂ０ｆｃ？ａｌａＯ：；：ａｌ、：Ｃｂ（三：口ｏ写成矩阵形式～～０：∑按式ｃ５，上式为ｍ－ａｌ１ｄ０，，ａ：：Ｈ；’．口～～ａ：Ｈｄｂｌ０～一ｂ０００～～：ｂ。：●ｂ００一Ｈ／＼ｆ一…］Ｈ／ｌ，推出ｆ，Ａ０１６一＝＼、●●●●●●●●●由于可逆，且即：，月ｊ，，：；●：ｂ●［ｂ］＝［乏］，［妻。］＝［６¨］一［乏，从而式（３），（４）成立．证毕．，由于多项式可添加系数为０的项，当被除式的次数小于时，可使被除式ｇ（５）＝６。＋…＋６化为ｇ（ｘ）＝ｂ