应用积分中值定理求极限应注意的问题.pdf

Vol.3No.4高等数学研究Dec.2000STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS33辅导篇应用积分中值定理求极限应注意的问题任晓红李国兴(西北轻工业学院,陕西咸阳,712081)利用积分中值定理可以求某些特定类型数列的极限,但是在解这类极限时,普遍容易出现两个方面的错误.以下面两例来说明.4例1求极限lim∫sind→∞0解先考虑积分∫4sind,由于sin在[0,]上连续,所以由积分中值定理可知,在[0,]044上至少存在一点,使得4∫sind=sin04∫4因此有lim0sind=lim(sin)=0=0.→∞→∞44例2求极限lim∫4tand→∞0解:由于在[0,]上连续,所以由积分中值定理可知,在[0,]上至少存在一点,使得tan444∫tand=tan04因此有lim∫4tand=lim(tan)=0=0→∞0→∞44我们来分析一下上面两例的解法.例1的解法看似正确,其实是错误的.错误原因在于积分中值定理是肯定了的存在性,并没有指出在区间的具体确切位置.一般地说,依赖于被积函数和积分区间.当不同时,被积函数也就不同,从而在[0,]上的位置也就不同.因此,应记为,4这是应用积分中值定理求极限应注意的第一个问题.例1的正确解法应为:∫4limsind=lim(sin)=0→∞0→∞4例2的解法除了犯有例1同样一种错误之外,还犯了第二种错误,错误在于应用积分中值定理所得到的属于闭区间,而不是开区间.∵∈[0,],∴0≤tan≤14由于不能排除即的情况因此是不正确的=,tan=1,limtan=0.(下转42页)4→∞收稿日期:2000-04-11高等数学研究422000年12月若∈求出所有解设有一组以为原点建立新坐标系需要旋转的角度为,,,,,,…(-1,(-2)(=1,2,,)用定理1判定其余-2个点是否满足条件,若满足则口旧井均可利用,否则口旧井不能全部利用.六、模型的推广在地质勘探、地质测量及各种观测点的设置中,都会碰到如何利用旧观测点,以减少新观测点的问题.本文问题(1)的算法时间复杂度为2,可以认为是简便有效的算法,因此具有广泛的应用.七、模型算法评价本文所采用的算法最大的优点是对问题(1)、(2),均能证明求出的解为最优解.1.在求解问题1时,提出并证明了一个重要的定理1.利用定理1,不使用穷举法,就可找出满足题目要求的最大值,从而大大简化了求解过程.2.对于问题(2)的求解与证明,对于其它问题,不一定适用,具有一定的局限性.参考书目[1]陆守一,唐小明.地理信息系统实用教程.北京:中国技术出版社.1998年[2]姜启源.数学模型.北京高等教育出版社.1993年(上接33页)这是应用积分中值定理求极限时应注意的第二个问题.事实上,例2虽然与例1形式相同,但不能用积分中值定理求解.正确的解法是利用定积分的比较性质以及夹逼准则,求解如下:dd令=tan则当=0时=0;当=时,=1,d=sec2d,∴d==41+tan21+21故有∫4tand=∫d2001+-2由于≤≤=21+22+22当>1时,0≤≤1-2∫1d≤∫1d≤∫1d20201+02即1≤∫1d≤122(+1)01+2(-1)11由于lim=0,lim=0,所以→∞2(+1)→∞2(-1)1lim∫4tand=lim∫d=02→∞0→∞01+11与例2类似的题目,如:lim∫d,lim∫d等,虽然都是以定积分的形式出现,2→∞01+→∞01+但已不能用积分中值定理求解.