逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典).docx

逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容,逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义:设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB=BA=E,则称A为可逆矩阵,而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1求证:如果方阵A满足Ak=0,那么EA是可逆矩阵,且（E-A）-1=E+A+A2+…+AK-1证明因为E与A可以交换,所以(E-A)(E+A+A2+…+AK-1)=E-AK,因AK=0,于是得(E-A)（E+A+A2+…+AK-1）=E，同理可得（E+A+A2+…+AK-1）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且(E-A)-1=E+A+A2+…+AK-1.同理可以证明(E+A)也可逆,且(E+A)-1=E-A+A2+…+（-1）K-1AK-1.由此可知,只要满足AK=0，就可以利用此题求出一类矩阵E土A的逆矩阵.「|]|例2设A=|0003|,求E-A的逆矩阵.L000HYPERLINK\l"bookmark1"0」分析由于A中有许多元素为零,考虑AK是否为零矩阵,若为零矩阵,则可以采用例2的方法求E-A的逆矩阵.解容易验证1A2=「||0L0000020000]|6|0||0」,A3=|「||0|L0而(E-A)(E+A+A2+A3)=E,所以-「|(E-A)1=E+A+A2+A3=|0L02.初等变换法006]000|，A4=0000|00HYPERLINK\l"bookmark3"0」126]126|.013|001」求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A可逆，则A可通过初等变换，化为单位矩阵I，即存在初等矩阵P,P…,P使12S（1）pp…pA=I，用A-1右乘上式两端，得：12s（2）pp…pI=A-112s比较（1）（2）两式，可以看到当A通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I作同样的初等变换，就化为A的逆矩阵A-1.用矩阵表示（AI）——初等—行—变为（IA-1），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1求矩阵A的逆矩阵.「231解[AI]喻|013|L125「125|喻|013|L001「231]已知A=」|.100]「125001]|||010|喻|013010|001」||L231100」|001]「100-1/6-13/HYPERLINK\l"bookmark4"6010|喻|0101/23/HYPERLINK\l"bookmark2"2-1/6-1/61/3」||L001-1/6-1/HYPERLINK\l"bookmark5"64/3]|-1|1/3」|2「-1/6-13/64/3]故A-1=-163/26」|.在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A不可逆，因为此时表明A=0，则A-1不存在.「123]例2求A=」|.「123100]「1解[AE]=|456010|喻|0|L789001」||L0「12310|喻|0-3-6-41|L0001-22-3-6|1」|0]0|.31-6-4-12-70100]|0|1」|由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A不可逆.3.伴随阵法定理n阶矩阵A=[a]为可逆的充分必要条件是A非奇异.且ij其中A是A中元素aijij「A|11A-1=1|A12A|...LA1n的代数余子式.A21A22...A2n...A]|||n1...An2.........A」nn「A|11矩阵|A12LA1nA21A22...A2n...An1...An2.........Ann]|1A|称为矩阵A的伴随矩阵，记作A3，于是有A-1=|」A3.证明必要性：设A可逆，由AA-1=I，有AA-1=I，则AA-1=I，所以A+0，即A为非奇异.充分性：设A为非奇异，存在矩阵3「A1n|11B=1|A12A|...LA其中A21A22...A2n...A]n1||||...A,n2......nn...A」「a|a11AB=|.2.1n1Laa12a22...an2「|A=1|0A|...L0同理可证BA=I.0A0...a」...a]1n||||1...a根2nA......nn1n「A|11|A12|...LAA21A22...A2n...A」...A]n1|||...An2......nn...0]|「|1...0|=|0A」L0...||.