逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典).pdf

逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容,逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义:设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB=BA=E,则称A为可逆矩阵,而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1求证:如果方阵A满足Ak=0,那么EA是可逆矩阵,且（E-A）1=E+A+A2+…+AK1证明因为E与A可以交换,所以(E-A)(E+A+A2+…+AK1)=E-AK,因AK=0,于是得(E-A)（E+A+A2+…+AK1）=E，同理可得（E+A+A2+…+AK1）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且(E-A)1=E+A+A2+…+AK1.同理可以证明(E+A)也可逆,且(E+A)1=E-A+A2+…+（-1）K1AK1.由此可知,只要满足AK=0，就可以利用此题求出一类矩阵EA的逆矩阵.01000200例2设A=,求E-A的逆矩阵.00030000分析由于A中有许多元素为零,考虑AK是否为零矩阵,若为零矩阵,则可以采用例2的方法求E-A的逆矩阵.解容易验证0020000600060000A2=，A3=，A4=00000000000000000而(E-A)(E+A+A2+A3)=E,所以11260126(E-A)1=E+A+A2+A3=.001300012.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A可逆，则A可通过初等变换，化为单位矩阵I，即存在初等矩阵P,P,P使12S（1）pppA=I，用A1右乘上式两端，得：12s（2）pppI=A112s比较（1）（2）两式，可以看到当A通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I作同样的初等变换，就化为A的逆矩阵A1.用矩阵表示（AI）初等行变换为（IA1），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.231例1求矩阵A的逆矩阵.已知A=013.125231100125001解[AI]0130100130101250012311001250011001/613/64/30130100101/23/210011/61/61/30011/61/61/311/613/64/3故A1=1/23/21.1/61/61/3在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A不可逆，因为此时表明A=0，则A1不存在.123例2求A=456.789123100123100解[AE]=4560100364107890010612701123100036410.000121由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A不可逆.3.伴随阵法定理n阶矩阵A=[a]为可逆的充分必要条件是A非奇异.且ijAA...A1121n11AA...AA1=1222n2A............AA...A1n2nnn其中A是A中元素a的代数余子式.ijijAA...A1121n1AA...A1矩阵1222n2称为矩阵A的伴随矩阵，记作A3，于是有A1=A3.............AAA...A1n2nnn证明必要性：设A可逆，由AA1=I，有AA1=I，则AA1=I，所以A0，即A为非奇异.充分性：设A为非奇异，存在矩阵2AA...A1121n11AA...AB=1222n2，A............AA...A1n2nnn其中aa...aAA...A11121n1121n1aa...a1AA...AAB=21222n1222n2............A............aa...aAA...An1n2nn1n2nnnA0...010...010A...001...0===IA......A.........1...00...A00...1同理可证BA=I.1由此可知，若A可逆，