考研数学-湖南大学高等代数2005--2009年考研真题[1].pdf

高等代数——2005年真题一．（20分）证明：数域F上的一个n次多项式fx能被它的导数整除的充要条件是fxaxbn，其中a,b是F中的数.二．（20分）设aaa0，计算下面的行列式：12n1a1111111a1112111a11311111an2241三．（15分）已知矩阵APQ，其中P，Q，Q，求矩阵A,A2和A100。3211四．（20分）给定线性方程组xaxa2xa3112131xaxa2xa3122232（1）xaxa2xa3132333xaxa2xa3142434当a,a,a,a满足什么条件时，方程组（1）有惟一解？无穷多解？无解？1234五．（20分）设fXXAX是一实二次型，若有实n维向量X,X使得12fXfX，证明：必存在实n维向量X0使fX0。1200六．设W是齐次线性方程组2xxxx3x012345（2）xxxx01235的解空间。1.W中的向量与方程组（2）的系数矩阵的行向量有何关系？2。求W的一组标准正交基。131616七．（15分）求复矩阵576的不变因子，初等因子及Jordan标准形。687n八．（10分）设整系数线性方程组axb，i1,2,,n对任意整数b,b,,b均ijji12nj1有整数解。证明该方程组的系数矩阵的行列式必为1。九．（15分）设A,B,C为复数域上n维空间V的线性变换，ABBAC,并且C可以与A,B交换。1.证明C的特征子空间是A,B的不变子空间。2.证明C的特征值全为0。高等代数——2006年真题111一．（20分）设矩阵Ax4y，已知A有三个线性无关的特征向量，是A的335二重特征根。试求可逆矩阵P，使得P1AP为对角形矩阵。二．（20分）设fx与gx互素当且仅当fxn与gxn互素（其中n为正整数）。三．设Pn为数域P上全体n元数组向量所构成的线性空间，证明：（1）存在Pn的子空间W使W中每个非零向量的分量都不是零；（2）满足上述条件的子空间W必为一维空间。四．（20分）设U和V是n阶的可逆矩阵，D是m阶的可逆矩阵mn，且D0D0U1UV1V。0000证明：D10D10U1UV1V.0000五．（10分）若把行列式aaa111,n11nDaaan1,1n1,n1n1,n111T的第j列换成x,x,,x,1后得到的新行列式记为Dj1,2,,n，试证：12n1jDDDD。12n六．化fx,x,x2xx6xx2xx为标准型，并且写出变换矩阵，问这个二次型123122313是否正定？七．（15分）如果A是一个非奇异的n阶实矩阵，那么存在一个正交矩阵P和一个下三角矩阵Q使得AQP。八．（15分）设a,a,,a都是正数，证明方程组12naxaxax01122nnax2ax2ax201122nnaxnaxnaxn01122nn只有零解。九．（10分）设fxaxn1axn2a，并且f0，其中是一个n次单位nn11根。求行列式：aaaaa123n1naaaaan12n2n1aaaaa。n1n1n3n2aaaaa234n1高等代数——2007年真题一．（20分）已知多项式fxfxfx，gxmxdx，其中符号表示该12多项式的次数，证明：存在多项式ux和ux，使得12gxuxfxuxfx，1221且uxfx,kk二．（20分）设Aa是数域K上的一个n阶矩阵，且aab，ijijij（1）求A；（2）当n2，且aab,b时，且齐次线性方程组AX0的解空间的维数和一组基。1212三．（20分）试求解线性方程组xxx112nxxx223n1xxxn1n1n22n四．（20分）设A为n阶实对称矩阵，为常向量，函数fxxAxT2xT，试分别在下列条件下，讨论函数fx的最大值和最小值。（1）A是正定矩阵；（2）A是负定矩阵；（3）A既不是正定矩阵，又不是负定矩阵。五．（20分）设是n维欧氏空间V中的一个单位向量，定义线性变换A2V.证明：（1）A是正交变换；（2）若n为奇数，则A是第一类的；若n为偶数，则A是第二类的；（3）W