函数的极值和最值.pdf

函数的极值和最值【考纲要求】1.掌握函数极值的定义。2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4.会求给定闭区间上函数的最值。【知识网络】函数极值的定义函数的极值函数极值点条件函数的极值和最值求函数极值函数在闭区间上的最大值和最小值【考点梳理】要点一、函数的极值函数的极值的定义一般地，设函数f(x)在点xx及其附近有定义，0（1）若对于x附近的所有点，都有f(x)f(x)，则f(x)是函数f(x)的一个极大值，记作000yf(x)；极大值0（2）若对x附近的所有点，都有f(x)f(x)，则f(x)是函数f(x)的一个极小值，记作000yf(x).极小值0极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.要点诠释：求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数f(x)；③求方程f(x)0的根；④检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点二、函数的最值1.函数的最大值与最小值定理若函数yf(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值；在开区间(a,b)内连1续的函数f(x)不一定有最大值与最小值.如f(x)(x0).x要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。2.通过导数求函数最值的的基本步骤：若函数yf(x)在闭区间[a,b]有定义，在开区间(a,b)内有导数，则求函数yf(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数f(x)在(a,b)内的导数f(x)；（2）求方程f(x)0在(a,b)内的根；（3）求在(a,b)内使f(x)0的所有点的函数值和f(x)在闭区间端点处的函数值f(a)，f(b)；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数yf(x)在闭区间[a,b]上的最大值，最小者为函数yf(x)在闭区间[a,b]上的最小值.【典型例题】类型一：利用导数解决函数的极值等问题例1.已知函数f(x)mx33x23x,mR.若函数f(x)在x1处取得极值，试求m的值，并求f(x)在点M(1,f(1))处的切线方程；【解析】f'(x)3mx26x3,mR.因为f(x)在x1处取得极值所以f'(1)3m630所以m3。又f(1)3,f'(1)12所以f(x)在点M(1,f(1))处的切线方程y312(x1)即12xy90.举一反三：【变式1】设a为实数，函数fxex2x2a,xR．(1)求fx的单调区间与极值；(2)求证：当aln21且x0时，exx22ax1．【解析】（1）由f(x)ex2x2a,xR知f(x)ex2,xR．令f(x)0，得xln2．于是当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：x(,ln2)ln2(ln2,)f(x)－0+f(x)单调递减2(1ln2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(,ln2)，单调递增区间是(ln2,)，f(x)在xln2处取得极小值，极小值为f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a).(2)证明：设g(x)exx22ax1，xR于是g(x)ex2x2a，xR由(1)知当aln21时，g(x)最小值为g(ln2)2(1ln2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增．于是当aln21时，对任意x(0,)，都有g(x)g(0)．而g(0)0，从而对任意x(0,),g(x)0．即exx22ax10，故exx22ax1．【变式2】函数f(x)的定义域为区间（a，b），导函数f'(x)在（a，b）内的图如图所示，则函数f(x)在（a，b）内的极小值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】由极小值的定义，只有点B是函数f(x)的极小值点，故选A。类型二：利用导数解决函数的最值问题【高清课堂：函数的极值和最值394579典型例题三】例2.已知函数其中。（1）若函数存在零点，求实数的取值范围；（2）当时，求函数的单调区间；并确定此时是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。【解析】（1）因为函数存在零点，则x2mxm0有实根，m24m0，即m0或m4（2）当时，函数定义域为Rf(x)(2xm)ex(x2mxm)ex(x22xmx)exx(x2m