傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）详解.pdf

傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）详解--傅⾥叶变换、离散傅⾥叶变换（DFT）、快速傅⾥叶变换（FFT）详解前置知识以下内容参考《复变函数与积分变换》，如果对积分变换有所了解，完全可以跳过忽略复数的三⾓表达式如下Z=r(cosθ+isinθ)欧拉公式如下eiθ=cosθ+isinθ所以，两式连⽴，我们可以得到复数的指数表达式Z=reiθ复球⾯如下图，除了N点以外，任意⼀个复数都与复球⾯上的点⼀⼀对应。对于任意复数z的乘幂有下列公式成⽴Zn=rneinθ当r=1时，我们可得到DeMoivre公式(cosθ+isinθ)N=cosNθ+isinNθ傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）详解--复数的⽅根傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）详解--复变函数的⼏何解释傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）详解--傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）详解--复变函数中的常⽤初等函数1.指数函数2.对数函数傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）详解--傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）详解--3.幂函数4.三⾓函数傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）详解--傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）详解--傅⾥叶级数在⾼等数学中我们就已经学习过傅⾥叶级数了，书中是这么描述的任何周期函数都可以⽤正弦函数和余弦函数构成的⽆穷级数来表⽰，公式是下⾯这样描述的∞∑f(t)=a0+n=1[ancos(nωt)+bncos(nωt)]其中上⾯的推导过程是利⽤三⾓函数集的正交性进⾏的，推导过程很简单，就不再说了。如果想看看推导过程的我们可以⽤上⾯提到的复数知识，将上述的正余弦形式的傅⾥叶级数，改写成复指数形式的傅⾥叶级数，过程如下：傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）详解--欧拉公式如下傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）详解--eiθ=cosθ+isinθ通过上述欧拉公式，得到余弦、正弦的复指数表达，如下eix−e−ixsinθ=2ieix+e−ixcosθ=2将上述公式代⼊傅⾥叶级数中，可以得到∑∞an−ibnan+ibninωt−inωtf(t)=a0+n=0(2e1+2e1)为了将上述式⼦合并an+ibn−inωtF(nω1)=2e1a−n−ib−ninωtF(−nω1)=2e1a0−i0ωt且当n=0的时候，bn=0,an=a0，e1=1,所以F(0)=2所以上述式⼦可以合并成∑∞an+ibn−inωtf(t)=n=−∞2e1化简⼀下∑∞inωtf(t)=n=−∞F(nω1)e1傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）详解--傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）详解--我们再把an,bn代⼊F中，可以得出最终傅⾥叶级数变换式t+T10∫F(nω)=Ttf(t)e−inω1tdt110∑∞inωtf(t)=n=−∞F(nω1)e1连续傅⾥叶变换根据前述的傅⾥叶级数可知，任何周期函数，都可以由正弦、余弦函数共同组合⽽成。现在假设有⼀个函数(信号)f(t)，其周期为T1，⾓频率为W1。那么我们可以表⽰成如下形式。∑∞a0f(t)=2+n=0[ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)]其中a0,an,bn都已经计算出来了。但上⾯是傅⾥叶级数，并⾮是傅⾥叶变换，所谓傅⾥叶变换就是将傅⾥叶级数的分析⽅法给推⼴到任何函数中，即⾮周期函数中。但是如果T趋于⽆穷，那么就会导致谱线长度变成0，所以此时，必须要引⼊⼀个新的量，称为频谱密度函数我们将F(nω1)两边同时乘以T_1t0+TTF(nω)=∫f(t)e−inω1tdt11t0如果该函数的不是周期函数，那么T−>∞,ω1−>0,所以nω1就趋于连续值了，我们可以⽤ω代替，谱线间隔△nω1也可以描述为dω。那么这时，我们将F(nω1)改成如下形式T2lim∫−T−inωtF(ω)=T1F(nω1)=T1→∞2f(t)e1dt所以，最终我们得到了傅⾥叶变换+∞−iωtF(ω)=∫−∞f(t)edt我们也说上⾯的傅⾥叶变换是⼴义傅⾥叶变换。2πF(nω)F(nω)思考⼀下，为什么我们也称其为,那是因为TF(nω)=1,其中1指的是单位频宽下的谱线长度,也就是频谱密度函数11ω1ω1频谱密度傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）详解--傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）详解--最后我们再对傅⾥叶反变换进⾏⼀下改变就⾏了ω1→0nω1→w△