空间曲线的切线与空间曲面的切平面.pdf

第六节空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面xx(t)设空间的曲线C由参数方程的形式给出：yy(t)，t(,)．zz(t)设t,t(,)，A(x(t),y(t),z(t)、B(x(t),y(t),z(t))为曲线上两点，A，B01000111的连线AB称为曲线C的割线，当BA时，假设AB趋于一条直线，则此直线称为曲线C在点A的切线．如果xx(t)，yy(t)，zz(t)对于t的导数都连续且不全为零〔即空间的曲线C为光滑曲线〕，则曲线在点A切线是存在的．因为割线的方程为xx(t)yy(t)zz(t)000x(t)x(t)y(t)y(t)z(t)z(t)101010也可以写为xx(t)yy(t)zz(t)000x(t)x(t)y(t)y(t)z(t)z(t)101010tttttt000当BA时，tt，割线的方向向量的极限为x(t),y(t),z(t)，此即为切线的0000方向向量，所以切线方程为xx(t)yy(t)zz(t)000．x(t)y(t)z(t)000过点A(x(t),y(t),z(t)且与切线垂直的平面称为空间的曲线C在点000A(x(t),y(t),z(t)的法平面，法平面方程为000x'(t)(xx)y'(t)(yy)z'(t)(zz)0000000如果空间的曲线C由方程为yy(x),zz(x)且y'(x),z'(x)存在，则曲线在点A(x,y(x),z(x)的切线是00000xxyy(x)zz(x)0001y(x)z(x)00法平面方程为(xx)y'(x)(yy(x))z'(x)(zz(x))000000如果空间的曲线C表示为空间两曲面的交，由方程组F(x,y,z)0，c:G(x,y,z)0(F,G)确定时，假设在A(x,y,z)有J0，在A(x,y,z)某邻域内满足隐函数000(y,z)000AF(x,y,z)0，组存在定理条件，则由方程组在点A(x,y,z)附近能确定隐函数G(x,y,z)0000yy(x),zz(x)dy1(F,G)dz1(F,G)有yy(x),zz(x),。于是空间的曲线C在0000，dxJ(x,z)dxJ(y,x)点A(x,y,z)的切线是000xxyyzz0001dydzdxdxAA即xxyyzz000(F,G)(F,G)(F,G)(y,z)(z,x)(x,y)AAA法平面方程为(F,G)(F,G)(F,G)(xx)(yy)(zz)0(y,z)0(z,x)0(x,y)0AAA(F,G)(F,G)类似地，如果在点A(x,y,z)有0或0时，我们得到的切线方000(x,y)(z,x)AA程和法平面方程有相同形式。所以，当向量(F,G)(F,G)(F,G)r{,,}0(y,z)(z,x)(x,y)AAA时，空间的曲线C在A(x,y,z)的切线的方向向量为r000例6.32求曲线xacos,yasin,zb在点a,0,b处的切线方程．解当时，曲线过点a,0,b，曲线在此点的切线方向向量为asin,acos,b|0,a,b，所以曲线的切线方程为xx(t)yy(t)zz(t)000．0abxayzb即0ab．二、空间曲面的切平面与法线设曲面S的一般方程为F(x,y,z)0取P(x,y,z)为曲面S上一点，设F(x,y,z)在P(x,y,z)的某邻域内具有连续00000000偏导数，且F2(x,y,z)F2(x,y,z)F2(x,y,z)0。设c为曲面S上过x000y000z000P(x,y,z)的任意一条光滑曲线：0000xx(t)c:yy(t)zz(t)设xx(t),yy(t),zz(t)，我们有000000F(x(t),y(t),z(t))0上式对t在tt求导得到0F(x,y,z)x'(t)F(x,y,z)y'(t)F(x,y,z)z'(t)0x0000y0000z0000因此，曲面S上过P(x,y,z)的任意一条光滑曲线c在P(x,y,z)点的切线都和00000000向量n{F(x,y,z),F(x,y,z),F(x,y,z)}x000y000z000垂直，于是这些切线都在一个平面上，记为，平面就称为曲面S在P(x,y,z)0000的切平面，向量n称为法向量。S在P(x,y,z)的切平面方程是0000F(x,y,z)(xx)F(x,y,z)(yy)F(