数列型不等式放缩技巧九法.pdf

--数列型不等式的放缩技巧九法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种：一利用重要不等式放缩1．均值不等式法n(n1)(n1)2例1设S1223n(n1).求证S.n2n2解析此数列的通项为ak(k1),k1,2,,n.kkk11nn1kk(k1)k,kS(k)，22n2k1k1n(n1)n(n1)n(n1)2即S.2n222ab注:①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式ab，2n(n1)(n3)(n1)2若放成k(k1)k1则得S(k1),就放过“度”了！n22k1②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里naaa2a2naa1n1n111nnnaa1n其中，n2,3等的各式及其变式公式均可供选用。14例2已知函数f(x),若f(1)，且f(x)在［０，1]上的最小值1a2bx5111为，求证：f(1)f(2)f(n)n.(０2年全国联赛山东预赛题)22n124x111简析f(x)11(x0)f(1)f(n)(1)14x14x2•2x221111111(1)(1)n(1)n.22222n422n12n12n1例3求证C1C2C3Cnn22(n1,nN).nnnn简析不等式左边C1C2C3Cn2n112222n1nnnnn1nn12222n1=n22，故原结论成立.２．利用有用结论111例4求证(11)(1)(1)(1)2n1.352n1简析本题可以利用的有用结论主要有:bbm法１利用假分数的一个性质(ba0,m0)可得aam2462n3572n11352n1(2n1)1352n12462n2462n2462n111()22n1即(11)(1)(1)(1)2n1.1352n1352n1法2利用贝努利不等式(1x)n1nx(nN,n2,x1,x0)的一个特----111例(1)212(此处n2,x)得2k12k12k112k1n1n2k11(1)2n1.2k12k1k12k1k12k1注：例4是１985年上海高考试题,以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1９９８年全国高考文科试题;进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是:111证明(11)(1)(1)(1)33n1.(可考虑用贝努利不等式n3的特例)473n212x3x(n1)xanx例５已知函数f(x)lg,0a1,给定nN,n2.n求证：f(2x)2f(x)(x0)对任意nN且n2恒成立。(9０年全国卷压轴题)简析本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（Cauchy)nnn不等式[(ab)]2a2b2的简捷证法：iiiii1i1i1122x32x(n1)2xan2x12x3x(n1)xanxf(2x)2f(x)lg2lgnn[12x3x(n1)xanx]2n•[122x32x(n1)2xan2x]而由Cauchy不等式得(1112x13x1(n1)xanx)2(1212)•[122x32x(n1)2xa2n2x]（x0时取等号)n•[122x32x(n1)2xan2x]（0a1)，得证!11例６已知a1,a(1)a.(I)用数学归纳法证明a2(n2)；1n1n2nn2nn(II)对ln(1x)x对x0都成立，证明ae2（无理数e2.71828）(0５年辽宁卷第n22题）解析(II)结合第(I)问结论及所给题设条件ln(1x)x（x0)的结构特征，可得1111放缩思路:a(1)alnaln(1)lnan1n2n2nnn1n2n2nn1111lna。于是lnalna，nn2n2nn1nn2n2n11()n1n