数列型不等式的放缩技巧九法.docx

数列型不等式的放缩技巧九法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种：一利用重要不等式放缩1.均值不等式法例1设SMEn解析此数列的通项为akkk1,k2n(n1)2kv'k(k1)即n(n1)2注：①应注意把握放缩的“度”：n(n1)QS2,n.(k4)，2(n1)22v;n(n1).求证v；k(k1),k1,2,1，nkS2k1n(n-1^.22上述不等式右边放缩用的是均值不等式、，亦立，若放成n&1)S1)n3)(!1)2，就放过“度”了！W1)k1则得Sn'22②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里2,3等的各式及其变式公式均可供选用。其中，n已知函数f(x)f1)f(2)］：2b，若f1)4，且f(x)在I。，1］上的最小值为2，求证:TOC\o"1-5"\h\zf(n)n上L(02年全国联赛山东预赛题)2n12简析f(x)-4—1—1—(x0)f1)f(n)1-^)14x14x22x22例3求证C1C2C3Cnn2；(n1,nN).nnnn简析不等式左边C1C2C3Cn2n112222n1nnnnn1nA12222n1=n22，故原结论成立.2.利用有用结论例4求证GDI1)!1)1_^)很厂1.352n1简析本题可以利用的有用结论主要有：法1利用假分数的一个性质ba1即2462n。)22n1352n1法2利用贝努利不等式1x)nbm„八(ba0,mam11)1小4)351nx(nN,n0)可得2n12,x气2n1.1,x0)的一个特例加“叶”而编拟成1998年全国如理科题的主干是：1—)212-^此处n2,x二)得2k12k12k1注：例4是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。证明11)11)11)1_二)顼3n1.可考虑用贝努利不等式n3的特例)473n2例5已知函数f(x)lg,0a1,给定nN,n2.n求证：f(2x)2f(x)X0)对任意nN且n2恒成立。(90年全国卷压轴题)简析本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西(Cauchy)不等式[n(ab)]2na2n1iiiib.2的简捷证法:i1i1i1而由Cauchy不等式得1112x13x1(n1)xanx)21212)[122x32xn122x32x(n1)2x例6已知a1,a(1—-—)a1n1n2nn对ln(1x)x对x0都成立，证明a.n题)(n1)2xa2n2x](x0时取等号)an2x](0a1),得证！—.(I)用数学归纳法证明a2(n2)；(ID2nne2(无理数e2.7182&..)(05年辽宁卷第22解析(11)结合第(I)问结论及所给题设条件ln(1x)x(x0)的结构特征，可得放缩思路:lnann2n1n2n15-。于是2nlnanlnalnanln111n2n2n1，2nlnan1(lmi1lna,)lnalna11G)―2r112£2.e2.即lnalna2n1注：题目所给条件ln(1放缩方向的作用；当然，本题还可用结论2n1-)-z、一1)n(n1)1lnalnan11)lnann1r_/[lnai1i2即lna1)n1)例7已知不等式12的最大整数。求证an简析当nx)x(x01)ln1,n(nlna.ln31)]为一有用结论，可以起到提醒思路与探索n(n1)h12)来放缩:i(i1)11)lna1