陈鄂生《量子力学教程》习题答案.pdf

第二章力学量算符d2.1证明空间反演算符ˆ(ˆ(x)(x))是厄米算符。指出在什么条件下，pˆi是厄米算符。dx1rr2.2动量在径向方向的分量定义为pˆpˆpˆ，求出pˆ在球坐标系中的表示式。r2rrr2.3证明pˆ,f(x)if(x);x,f(pˆ)if(pˆ)xxxpˆxx2.4设算符Aˆ满足条件Aˆ21，证明eiAˆcosisinAˆ，其中为实常数.2.5设算符KˆLMˆˆ,LMˆˆMLˆˆ1,又设为Kˆ的本征矢,相应本征值为.求证uLˆ和vMˆ也是Kˆ的本征矢,并求出相应的本征值.pˆ22.6粒子作一维运动,HˆV(x),定态波函数为n,HˆnEn,n1,2,3,2n(1)证明npˆmanxm,并求出系数a.nmnm22(2)利用(1)式推导求和公式EE2nxmmpˆ2mnm2n2(3)证明EEnxm2nm2n12.7设Fˆ为厄米算符,证明在能量表象中下式成立:EEF2kFˆ,Fˆ,Hˆknmnk2n2.8已知Y(,)是Lˆ2和Lˆ的共同本征函数，本征值分别为l(l1)2和m。令LˆLˆLˆ.lmZxy(1)证明LˆY(,)仍是Lˆ2和Lˆ的共同本征函数,求出他们的本征值.lmZ(2)推导公式LˆY(,)l(l1)m(m1)Y(,)lmlm111ˆˆˆˆˆˆˆˆ2.9证明eABeˆABˆA,BˆA,A,BˆA,A,A,Bˆ2!3!ˆˆAˆ,BˆAˆ,BˆnnBˆn1Aˆ,Bˆ2.10设算符A与B同它们的对易关系式都对易，证明ˆˆˆˆˆˆAˆBˆAˆBˆ1A,BAˆBˆAB1A,Beeee2或eee21ˆˆˆLˆˆˆ2.11设L为轨道角动量算符。已知L2与L的共同本征函数为Y(,)。证明eiy2为L2和L的共同本Zlmx征函数，并求出相应的本征值.ˆiapˆiapˆibpxˆibpxˆ2.12设pˆ是x方向的动量算符,满足对易关系x,pi.求(1)exe?(2)ex,e?式中a,b为常数.2.13设粒子处于状态Y(,),求轨道角动量x分量及y分量平均值L与L,以及L2与L2.lmxyxy2.14已知角动量算符的三个分量Jˆ,Jˆ,Jˆ满足对易关系xyzJˆ,JˆiJˆ,Jˆ,JˆiJˆ,Jˆ,JˆiJˆxyzyzxzxy定义Jˆ2Jˆ2Jˆ2Jˆ2,JˆJˆiJˆxyzxy(1)求对易关系Jˆ2,Jˆ,Jˆ,Jˆ,Jˆ,Jˆ;z(2)若Jˆ2和Jˆ的共同本征函数为,其中j和m为相应的量子数.求证Jˆ也是Jˆ2和Jˆ的共同本征函zjmjmz数,并求出相应的本征值.2.15设Jˆ,Jˆ,Jˆ为角动量算符，JˆJˆiJˆ.算符Vˆ与Jˆ,Jˆ满足对易关系Jˆ,Vˆ0,xyzxyzJˆ,VˆVˆ.求证Vˆjjcj1,j1,其中c为常数,jm为Jˆ2和Jˆ的共同本征函数.zz2.16令pˆpˆipˆ,LˆLˆiLˆ.(1)计算xyxy