几何分布的定义以及期望与方差的证明.pdf

几何分布的定义以及期望与方差的证明--几何分布的定义以和期望与方差几何分布（Geometricdistribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。公式：它分两种情况：1.得到1次成功而进行，n次伯努利实验，n的概率分布，取值范围为『1，2，3，...』;2.m=n-1次失败，第n次成功，m的概率分布，取值范围为『0，1，2，3，...』.由两种不同情况而得出的期望和方差如下：,;,。概率为p的事件A，以X记A首次发生所进行的试验次数，则X的分布列：，具有这种分布列的随机变量X，称为服从参数p的几何分布，记为X~Geo(p)。几何分布的期望，方差。高中数学教科书新版第三册（选修II）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中11p只给出了结论：（1）E，（2）D，而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。pp2（1）由P(k)qk1p，知1/5几何分布的定义以及期望与方差的证明--几何分布的定义以及期望与方差的证明--Ep2pq3q2pkqk1p(12q3q2kqk1)p下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记S12q3q2kqk1kqSq2q2(k1)qk1kqkk两式相减，得(1q)S1qq2qk1kqkk1qkkqkSk(1q)21q由0p1，知0q1，则limqk0，故k1112p3q2kqk1limSkk(1q)2p21从而Epa也可用无穷等比数列各项和公式S1(|q|1)（见教科书91页阅读材料），推导如下：1q记S12q3q2kqk1qSq2q2(k1)qk1相减，1(1q)S1qq2qk11q11则S(1q)2p22/5几何分布的定义以及期望与方差的证明--几何分布的定义以及期望与方差的证明--还可用导数公式(xn)'nxn1，推导如下：12x3x2kxk1x'(x2)'(x3)'(xk)'(xx2x3xk)'x(1x)(x)()'1x(1x)21(1x)2上式中令xq，则得1112q3q2kqk1(1q)2p2（2）为简化运算，利用性质DE2(E)2来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。可见关键是求E2。E2p22qp32q2pk2qk1pp(122q32q2k2qk1)对于上式括号中的式子，利用导数，关于q求导：k2qk1(kqk)'，并用倍差法求和，有122q32q2k2qk1(q2q23q3kqk)'q(1q)22(1q)q[]'(1q)2(1q)41q21q2p(1q)4(1q)3p33/5几何分布的定义以及期望与方差的证明--几何分布的定义以及期望与方差的证明--2p2p2p11p则E2p()，因此DE2(E)2()2p3p2p2pp2利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。例1.一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。求取球次数的数学期望E与方差D。52解：每次从袋内取出白球的概率p，取出黑球的概率q。的取值为1，2，3，……，77有无穷多个。我们用k表示前k－1次均取到黑球，而第k次取到白球，因此25P(k)qk1p()k1()(k1,2,3,)。可见服从几何分布。所以7717Ep5511p714Dp2525()27例2.某射击运动员每次射击击中目标的概率为p（0<p<1）。他有10发子弹，现对某一目标连续射击，每次打一发子弹，直到击中目标，或子弹打光为止。求他击中目标的期望。解：射手射击次数的可能取值为1，2，…，9，10。若k(k1,2,,9)，则表明他前k1次均没击中目标，而第k次击中目标；若k＝10，则表明他前9次都没击中目标，而第10次可能击中也可能没击中目标。因此的分布列为(1p)k1p(k1,2,,9)P(k)(1p)9(k10)E1(1p)0p2(1p)p9(1p)8p10(1p)9[12(1p)9(1p)8]p10(1p)9用倍差法，可求得4/5几何分布的定义以及期望与方差的证明--几何分布的定义