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几何分布的定义以及期望与方差
几何分布（Geometricdistribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。
公式：
它分两种情况：
1.得到1次成功而进行，n次伯努利实验，n的概率分布，取值范围为『1，2，3，...』;
2.m=n-1次失败，第n次成功，m的概率分布，取值范围为『0，1，2，3，...』.
由两种不同情况而得出的期望和方差如下：

,

;

,

。
概率为p的事件A，以X记A首次发生所进行的试验次数，则X的分布列：

，

具有这种分布列的随机变量X，称为服从参数p的几何分布，记为X~Geo(p)。
几何分布的期望

，方差

。

高中数学教科书新版第三册（选修II）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1），（2），而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。
（1）由，知

下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记

两式相减，得

由，知，则，故

从而
也可用无穷等比数列各项和公式（见教科书91页阅读材料），推导如下：
记

相减，

则
还可用导数公式，推导如下：

上式中令，则得

（2）为简化运算，利用性质来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。可见关键是求。

对于上式括号中的式子，利用导数，关于q求导：，并用倍差法求和，有

则，因此
利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。
例1.一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。求取球次数的数学期望与方差。
解：每次从袋内取出白球的概率，取出黑球的概率。的取值为1，2，3，……，有无穷多个。我们用表示前k－1次均取到黑球，而第k次取到白球，因此
。可见服从几何分布。所以

例2.某射击运动员每次射击击中目标的概率为p（0<p<1）。他有10发子弹，现对某一目标连续射击，每次打一发子弹，直到击中目标，或子弹打光为止。求他击中目标的期望。
解：射手射击次数的可能取值为1，2，…，9，10。
若，则表明他前次均没击中目标，而第k次击中目标；若k＝10，则表明他前9次都没击中目标，而第10次可能击中也可能没击中目标。因此的分布列为

用倍差法，可求得

所以
说明：本例的试验是有限次的，并且，不符合几何分布的概率特征，因而随机变量不服从几何分布，也就不能套用几何分布的相关公式。但求解过程可参照相关公式的推导方法。