哈尔滨备战中考数学复习锐角三角函数专项易错题.pdf

哈尔滨备战中考数学复习锐角三角函数专项易错题一、锐角三角函数1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．【答案】5534【解析】【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，1∴∠COP＝∠COD＝30°，2∴QM＝OP＝OC•cos30°＝53（分米），∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，1∴AQ＝OA＝5（分米），2∴AM＝AQ＋MQ＝5＋53．∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），在Rt△PKE中，EK＝EF2FK2＝26（分米），∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝62（23）2＝26，∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，∴B′E′−BE＝4．故答案为：5＋53，4．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平面夹角为，且在水平线上的射影AF为11.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为，并已知tan1.082，21tan0.412．如果安装工人确定支架AB高为25cm，求支架CD的高（结果精确到21cm）？【答案】【解析】过A作AFCD于，根据锐角三角函数的定义用、表示出、的值，又可证Fθ1θ2DFEF四边形ABCE为平行四边形，故有EC=AB=25cm，再再根据DC=DE+EC进行解答即可．3．在Rt△ACB和△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE.特殊发现：如图1，若点E、F分别落在边AB，AC上，则结论：PC＝PE成立（不要求证明）．问题探究：把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．(1)如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；AC(3)记＝k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）BC3【答案】1PCPE成立2，PCPE成立3当k为时，VCPE总是等边三3角形【解析】【分析】（1）过点P作PM⊥CE于点M，由EF⊥AE，BC⊥AC，得到EF∥MP∥CB，从而有EMFP，再根据点P是BF的中点，可得EM=MC，据此得到PC=PE．MCPB（2）过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，先证△DAF≌△EAF，即可得出AD=AE；再证△DAP≌△EAP，即可得出PD=PE；最后根据FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，可得FD∥BC∥PM，再根据点P是BF的中点，推得PC=PD，再根据PD=PE，即可得到结论．（3）因为△CPE总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出ACAC∠CBA=30°；最后根据k，=tan30°，求出当△CPE总是等边三角形时，k的值是BCBC多少即可．【详解】解：（1）PC=PE成立，理由如下：如图2，过点P作PM⊥CE于点M，∵EF⊥AE，BC⊥AC，∴EF∥MP∥CB，EMFP∴，∵点P是BF的中点，∴EM=MC，又∵PM⊥CE，∴PC=PE；MCPB（2）PC=PE成立，理由如下：如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，∵∠DAF=∠EAF，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF和△EAF中，∵∠DAF=∠EAF，∠FDA=∠FEA，A