成人自考00023《高等数学(工本)》考点.pdf

第一章空间解析几何与向量代数考点一：空间直角坐标系1．空间直角坐标系建立过空间定点O作三条垂直的数轴，以O为原点，具有相同单位长度，三条数轴分别为x轴、y轴、z轴，统称坐标轴。三条坐标轴的任意两条都可确定一个平面，称为坐标面。分别是x和y确定的Oxy平面，y和z确定的Oyz平面,x和z确定的Oxz平面。三个相互垂直的坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦象。2．空间中两点间的距离公式设空间两点（）,（）,他们两点之间的距离为：||==。特别地，点P（x，y，z）到原点O（0，0，0）的距离|OP|=。考点二：向量代数1.向量的概念由数值决定大小的量，如：质量，温度，面积，密度等，称之为标量（数量）。有大小还有方向，如：力，加速度，速度等，称之为向量。空间中以A为起点，B为终点的线段称为有向线段，记为，简记为，将向量的长度记为||或||，称为向量的模。如果向量的模为零，称为零向量。定义1：如果两个向量与的长度相等且方向相同，则称这两个向量是相等的向量，记作=。一个向量在空间中平移到任何位置而得到的向量与原向量相等，称为自由向量。将若干个向量起点平移到同一个点后，它们的起点和终点都位于同一直线，则称向量是上共线的；起点和终点都位于同一个平面，则称这上些向量是共面的。不论长度大小，两向量与的方向相反或相同，称与平行，记为。2.向量的加法平行四边形法则：给定两个向量与，平移到同一个O点，设它们终点为A和B，则=，=，以，为邻边构造一个平行四边形OBCA。以O为起点C为终点的向量=称为向量与的和，记为+=，即+=。三角形法则：给定两个向量与，将平移，使其起点平移到的终点，此时的终点与用平行四边形法则确定的点C重合，从而=，于是与的和为+=。零向量起点与终点重合，对于任何向量，三角形法则可得+0=。向量加法的逆运算称为向量减法。给定向量与，如存在使得=，则称是向量与的差，记为-=。2/13设=，=，有三角形法则可知=+，于是-=。也就是说，将与的起点放在一起，则的终点到的终点向量即为-。向量加法运算的规律：1）交换律：+=+；2）结合律：(+)+=+(+)。3.向量与数的乘法定义2：给定实数及其向量，规定与的数量乘法是一个向量，大小规定为||=||||；其方向规定为：>0时，与的方向一致，<0时，与的方向相反。数量乘法有如下运算：1）结合律：（）=（）=（），其中，都是数量；2）对于数量加法的分配律：（+）=+；3）对于向量加法的分配律：（+）=+。向量的加法和数量的乘法统称为向量的线性运算。定理1：设向量0，则称向量平行于的充分必要条件是：存在数量，使得=。如果向量的模为1，即||=1，则称为单位向量。如果0，记=，称之为的单位化向量。4.向量的投影若非零向量，的夹角（）=/2，则称与垂直。规定零向量与任何向量垂直。给定向量及数轴u，过点A，B向数轴u作垂线，设垂足为,，这两个点在数轴u上的坐标分为，。分别称为,在点A，B在数轴u上的投影点；称向量为在数轴u上的投影向量；记=-，称为向量在数轴u上的投影。定理2（投影定理）：对任意非零向量，有=，其中是与数轴u的夹角。定理3（投影的线性性质）：1）=+，=-2）设是数量，则=。5.向量的坐标在空间直角坐标系中，与x轴，y轴，z轴三个坐标轴同方向的单位向量分别记为i，j，k，称为基本单位向量。给定空间中的点M（a，b，c），向量称为向径。三个坐标轴上的投影为=a，=b，=c。点M在x轴、y轴、c轴上的投影分别设为A，B，C，可知向径投影向量为=ai，=bj，=ck。称之为在三个坐标轴上的分向量。=+，即=ai+bj+ck称此式为向量的分解式。定理4：设向量={，，}，={，，}，为数量，则（1）+={，，},-={，，};（2）={，，}，特别地-={，，}。非零向量v与x轴、y轴、z轴之间的夹角，，称为v的方向角；，，的方向余弦。考点三：数量积与向量积3/131.数量积（数量积不是向量而是数量，也被称为点积）两个向量与，定义它们数量积为=||其中是与的夹角投影关系=||=||。由于夹角为0，=||=。定理1：（1）交换律=（2）结合律（）=（）=，是数量。分配律（+）=+定理2：向量与相互垂直的充分必要条件=0。设向量={，，}，={，，}，得出=++。=/(||=(++)2.向量积两个向量与，它们的向量积规定为一个向量,由下述方式确定：1）的长度为||=||sin，其中是与的夹角2）的方向垂直于与所确定的平面，指向按照右手法则则由转到来确定。定理3：（1）反交换律：（）；（2）结合律：（）=（）=（3）分配律：（+）=+，（+）=+定理4：两个向量与相互平行的充分必要条件是0。向量积的坐标表示：ij+k=。考点四：空间中的曲面和曲线1.曲面方程定义1：给定曲面S与三元方程F（x，