高考数学大题专攻四函数与导数压轴大题的思维建模.pptx

一宏观掌握解题通路：函数与导数问题重在“分”——分离、分解[解题示范]解：(1)f′(x)＝aex－1，当a≤0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时，令f′(x)>0，得x＞－lna，令f′(x)＜0，得x＜－lna，所以函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．综上可得，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a＞0时，函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．二微观优化解题细节：有关x与ex，lnx的组合函数的解题技法有关x与ex，lnx的组合函数是高考的常考内容，常将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)等．熟悉与x，ex，lnx有关的函数图象特征，在解答相关问题时做到“有形可寻”，对解题大有帮助.有关x与ex组合的常见函数的大致图象有关x与lnx组合的常见函数的大致图象有关x与ex，lnx组合的函数的大致图象[例1]已知函数f(x)＝ex－ax2，若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1.[反思领悟]由指数函数和对数函数的导数及运算法则，不难知道：[解题观摩](1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)．对f(x)求导，得f′(x)＝2ax－lnx－1.因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x>0时，f′(x)≥0恒成立．技法(三)借助lnx≤x－1或ex≥x＋1进行放缩[例3]已知函数f(x)＝xex－alnx(e为自然对数的底数，e＝2.718…)．(1)若f(x)在(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)当a＝－1时，设g(x)＝x[f(x)－xex]－x3＋x2－b，若函数g(x)存在零点，求实数b的最大值．当x∈(0,1)时，x2＋3x＋1>0，则h′(x)>0，所以h(x)在(0,1)上单调递增，所以h(x)<h(1)＝2e，因此a≥2e，所以实数a的取值范围是[2e，＋∞)．(2)当a＝－1时，f(x)＝xex＋lnx，则g(x)＝xlnx－x3＋x2－b．由题意知，问题等价于方程b＝xlnx－x3＋x2在(0，＋∞)上有解．也就是lnx≤x－1.由此可知k(x)＝xlnx－x3＋x2≤x(x－1)－x3＋x2＝－x(x2－2x＋1)≤0.又当x＝1时，k(x)max＝k(1)＝0，所以实数b的最大值为0.[反思领悟]本题第(2)问的求解中，法二借助不等式lnx≤x－1(x>0)进行放缩，使求解过程变得简洁，这种方法在求解涉及lnx的函数问题中经常用到，应注意掌握．