中考数学复习二次函数专项易错题及答案解析.pdf

中考数学复习二次函数专项易错题及答案解析一、二次函数1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），1如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．4（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（）知（，）为平面内一定点，（，）为抛物线上一动点，且点到直线的3Fx0y0MmnMl距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．128【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（，﹣1）．（3）413定点F的坐标为（2，1）．【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标11特征，即可得出（1--y）m2+（2-2x+2y）m+x2+y2-2y-3=0，由m的任意性可得出关22000000于、的方程组，解之即可求出顶点的坐标．x0y0F详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），1∴1=4a，解得：a=，411∴抛物线的解析式为y=（x-2）2=x2-x+1．44（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：1y＝xx＝141x＝4，解得：1，2，1y＝y＝1y＝x2x114241∴点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）．4作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．∵点B（4，1），直线l为y=-1，∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），1将A（1，）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得：4131k＝kb＝124，解得：，44kb＝3b＝3134∴直线AB′的解析式为y=-x+，123134当y=-1时，有-x+=-1，12328解得：x=，1328∴点P的坐标为（，-1）．13（3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，∴（m-x）2（）2（）2，0+n-y0=n+1∴m222．-2x0m+x0-2y0n+y0=2n+1∵M（m，n）为抛物线上一动点，1∴n=m2-m+1，411∴m2-2xm+x2-2y（m2-m+1）+y2=2（m2-m+1）+1，00040411整理得：（1--y）m2+（2-2x+2y）m+x2+y2-2y-3=0．22000000∵m为任意值，111y＝0220∴22x2y＝0，00x2y22y3＝0000x＝2∴0，y＝10∴定点F的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于、的方程组．x0y02．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．9【答案】（1）二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）①PM=；②P（2，﹣3）或最大4（3-2，2﹣42）．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．【详解】（1）将A，B，C代入函数解析式，abc0a1得9a3bc0，解得b2，c3c3这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）设BC的解析式为y=kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式，得3kb0k1，解得