全国高中数学联赛模拟试题第五卷附答案.pdf

全国高中数学联赛模拟试题（五）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、空间中n（n≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个结论（1）没有任何两个平面互相平行；（2）没有任何三个平面相交于一条直线；（3）平面间的任意两条交线都不平行；（4）平面间的每一条交线均与n2个平面相交．其中，正确的个数为（A）1（B）2（C）3（D）42、若函数y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c∈(a,b)时，f(c)的近似值可表示为fafbab（A）（B）f22bcfacafbca（C）（D）fafbfababa3、设a＞b＞c，a+b+c=1，且a2+b2+c2=1，则（A）a+b＞1（B）a+b=1（C）a+b＜1（D）不能确定，与a、b的具体取值有关x2y2334、设椭圆1的离心率e，已知点P0,到椭圆上的点的最远a2b2227距离是，则短半轴之长b=41111（A）（B）（C）（D）168425、S={1,2,…,2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集A的个数是（A）C3（B）C2C2200310011002（C）A2A2（D）A31001100220036、长方体ABCDABCD，AC为体对角线．现以A为球心，AB、AD、11111AA、AC为半径作四个同心球，其体积依次为V、V、V、V，则有111234（A）V＜V+V+V（B）V=V+V+V41234123（C）V＞V+V+V（D）不能确定，与长方体的棱长有关41231二、填空题：（每小题9分，共54分）sin3cos31、已知k，则k的取值范围为．sincos2、等差数列{a}的首项a=8，且存在惟一的k使得点(k,a)在圆x2+y2=102上，n1k则这样的等差数列共有个．a3、在四面体PABC中，PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a＜b，则的取b值范围为．4、动点A对应的复数为z=4(cos+isin)，定点B对应的复数为2，点C为线段AB的中点，过点C作AB的垂线交OA与D，则D所在的轨迹方程为．20035、3k被8所除得的余数为．k16、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为．三、（20分）已知抛物线y2=2px(p＞0)的一条长为l的弦AB．求AB中点M到y轴的最短距离，并求出此时点M的坐标．四、（20分）单位正方体ABCDABCD中，正方形ABCD的中心为点M，正方1111形ABCD的中心为点N，连AN、BM．11111（1）求证：AN、BM为异面直线；1（2）求出AN与BM的夹角．1五、（20分）对正实数a、b、c．求证：a28bcb28acc28ab≥9．abc2第二试一、（50分）设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△PAB的内切圆与边AB的切点．乘积PA·PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化，当PA·PB取最小值时，（1）证明：AB≥2BC；（2）求AQ·BQ的值．二、（50分）给定由正整数组成的数列a1,a212（n≥1）．aaan2n1n（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点(a,a)，(a,a)，…，(a,a)，…12342k-12k均在曲线x2+xyy2+1=0上．（2）若设f(x)=xn+xn-1axa，g(x)=x2x1，证明：g(x)整除f(x)．nn-1三、（50分）我们称A,A,…,A为集合A的一个n分划，如果12n（1）AAAA；12n（2）AA，1≤i＜j≤n．ij求最小正整数m，使得对A＝{1,2,…,m}的任意一个13分划A,A,…,A，一定存在某个集合A(1≤i≤13)，在A中有两个元素a、b1213ii9满足b＜a≤b．83参考答案第一试一、选择题：题号123456答案DCACBC二、填空题：111、1,,1；2、17；22x12y23、23,1；4、1；435、4；6、117600．l2l2,0l2p,M,08p8p三、．lplppl2,l2p,M,p2222四、（1）证略；（2）arccos．3五、证略．第二试一、（1）证略（提示：用面积法，得PA·PB最小值为2，此时∠APB＝90°）；（2）AQ·BQ=1．二、证略（提示：用数学归纳法）．三、m=117．4