全国高中数学联赛模拟试题3附答案.pdf

全国高中数学联赛模拟试题（三）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、若集合S＝{n|n是整数，且22n＋2整除2003n＋2004}，则S为（A）空集（B）单元集（C）二元集（D）无穷集2、若多项式x2－x＋1能除尽另一个多项式x3＋x2＋ax＋b（a、b皆为常数）．则a＋b等于（A）0（B）－1（C）1（D）23、设a是整数，关于x的方程x2＋(a－3)x＋a2＝0的两个实根为x、x，且12tan(arctanx＋arctanx)也是整数．则这样的a的个数是12（A）0（B）1（C）2（D）44、设一个四面体的体积为V，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其1V体积为V．则2为2V112（A）（B）2312（C）常数，但不等于和23（D）不确定，其值与四面体的具体形状有关5、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为（A）1001（B）1010（C）1011（D）10136、在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组的个数是（A）36（B）37（C）48（D）49二、填空题：（每小题9分，共54分）11、若直线xcos＋ysin＝cos2－sin2（0＜＜）与圆x2＋y2＝有公共点，4则的取值范围是．2、在平面直角坐标系xOy中，一个圆经过(0,2)、(3,1)，且与x轴相切．则此圆的半径等于．3、若常数a使得关于x的方程lg(x2＋20x)－lg(8x－6a－3)＝0有惟一解．则a的取值范围是．x24、f(x)＝＋xcosx＋cos(2x)(x∈R)的最小值是．815、若k是一个正整数，且2k整除C0C231C2i3iC4006320034006400640064006则k的最大值为．6、设ABCD为凸四边形，AB＝7，BC＝4，CD＝5，DA＝6，其面积S的取值范围是(a,b]．则a＋b＝．三、（20分）设椭圆的左右焦点分别为F、F，左准线为l，点P在椭圆上．作PQ⊥12l，Q为垂足．试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P，使得PQFF12为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e的等式或不等式来表示）．四、（20分）设a＝1，a＝2，a＝2a＋n，n＝1,2,3,…．试求出a的表达式（答01n+1n-1n案用有限个关于n的式子相加的形式表示，且项数与n无关）．五、（20分）试求出所有的有序整数对(a,b)，使得关于x的方程x4＋(2b－a2)x2－2ax＋b2－1＝0的各个根均是整数．2第二试一、（50分）点P在△ABC内，且∠BAP＝∠CAP，连结BP并延长交AC于点Q．设111∠BAC＝60°，且．BPPCPQ求证：P是△ABC的内心．二、（50分）b设正数a、b满足a且使得关于x的不等式2x1≥ax1b总有实数解．试求f(a,b)＝a2－3ab＋b2的取值范围．三、（50分）试求出正整数k的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的k个整数a,a,…,a（允许相等），必定存在相应的k的整数x,x,…,x（也允许相等），12k12k且|x|≤2(i＝1,2,…,k)，|x|＋|x|＋…＋|x|≠0，使得2003整除xa＋xa＋…i12k1122＋xa．kk3参考答案第一试一、选择题：题号123456答案CCBADC二、填空题：251、,,；2、1565；633616313、,；4、－1；625、2004；6、2210．1三、e,1．2四、a＝2n+2－2n－3；a＝3×2n+1－2n－4．2n2n+1五、(a,b)＝(2l―1,l2―l―1)(l∈Z)第二试PCPAPC一、证略（提示：将条件变形为1，然后应用正弦定理，进行三角PAPBPQ变换，得∠BPC＝120°，利用同一法即证）；二、(－∞，－1)．三、k＝7．min4