数学与应用-数学归纳法及其应用.doc

PAGE\*MERGEFORMAT2数学归纳法及其应用摘要：在数学这门学科的发展过程中，涌现出很多十分常用的数学证明方法，本文所研究的数学归纳法就是这样一种专门用于证明命题正确性的数学方法。它伴随着数学、高等代数、几何学和概率论等数学学科的不断发展而不断的应用。本文不仅详尽的描述了数学归纳法的形成过程和第一、第二数学归纳法，更是用相应的实例进行解析说明在各类型题目中数学归纳法的具体应用。关键词：数学归纳法；历史；原理；证明；应用MathematicalInductionandItsApplicationAbstract:Keywords:Mathematicalinduction；history；prove；application目录1绪论····························································12数学归纳法的历史················································13数学归纳法的原理················································24数学归纳法的应用················································34.1数学归纳法在初等代数中的应用································34.2数学归纳法在高等数学中的应用·································74.3数学归纳法在几何方面的应用····································84.4数学归纳法在概率论方面的应用··································85结束语··························································9参考文献........................................................10致谢.........................................................10PAGE\*MERGEFORMAT1PAGE\*MERGEFORMAT11、绪论数学归纳法在所有的数学证明技巧中不但是最根本还是最具有代表性手法其一，等同还是一种特别的求证方法，并在数学的不同部分中都有着普遍的运用。掌握并娴熟使用这种论证手段,不但可以协助大家以从中领会严密的数学逻辑思维的特点，还有就是在掌握相关自然数的命题以后,还能够使我们更有效率的处理相关事物。对数学归纳法的研究和分析，一定要借助于某些具有代表性的案例进行分析，以此可以体现出数学归纳法的基本原理和应用。数学归纳法的历史伴随社会的发展，我们可以看到早在印度和古希腊时代就有了数学归纳法的踪迹，比如婆什迦罗的“循环方法”、还有毕达哥拉斯对点子数的讨论。毕达哥拉斯由限制个异常状况而得出寻常结果,具备鲜明的论证流程,但这部分推断只是大略的陈列,并不曾牵涉综合结论,所以他就不是完整的归纳推测。公元前3世纪，在《几何原本》中就有对数学归纳法进行了详细的推演，这本书源自于古希腊数学家欧几里得（Euclid）著作。他的主要推演过程为：在数学归纳法中，详细论述了是真值，并且验证了也是真值，通过这种通用性的公式推演，可以初步形成数学归纳的方法原理，为数学归纳法的提出创造了研究基础。公元前10世纪末，阿拉伯数学家凯拉吉（Karaji）在数学研究中对数学归纳法进行了应用与推广。同样在公元10世纪末，另一位著名的阿拉伯物理学家天文学家、数学家伊本·海塞姆（IbnalHaytham，公元965~1040）将Karaji立方和推广到了四次幂和，此外他还利用数学归纳法对自然数的4次幂之和进行了验证。在公元12世纪早期，阿拉伯数学家塞毛艾勒（Samaw’al）在《光辉的计算》一书中提出了二项式定理与帕斯卡三角形数表（在宋代，我国古数学家贾宪于11世纪最先提出了“贾宪三角形”）、12世纪末的伊本·穆恩依姆（IbnMunim）对帕斯卡三角形数表、公元13世纪的数学家伊本·班纳（IbnBannā）在组合数字公式的推演中已经初步运用了数学归纳法的基本理论，但是他并没有对这种方法进行深入的研究[1]。早在公元16世纪，意大利数学家毛罗利科（Maurolico）提出：“在验证某个关于自然