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9.3幂法和反幂法幂法是一个计算矩阵按模最大特征值与对应特征向量迭代方法。9.3.1幂法和加速方法幂法基本思想是任取一个非零初始向量,由矩阵A结构一向量序列{vk}k=0,1,2,…,n例1设实对称矩阵A为利用幂法求A按模最大特征值,任取即两相邻迭代向量对应非零分量比值一定收敛到主特征值?(设),(3.2)即两相邻迭代向量对应非零分量比值收敛到主特征值.由(3.3)式知,收敛速度由比值来确定越小收敛越快,但当≈1时收敛可能就很慢.两种特殊情况例1属于第一个情况讨论。(或趋于零),这么造成计算机中“溢出”。为了克服这个问题,任取初始向量:由(3.7)及(3.8)式有于是,(2)设A特征值满足用(改进)幂法求矩阵A主特征值和主特征向量步骤:解:取初始向量,按(3.7)迭代5次得到数据以下表:k(规范化向量)011111110.21430.4821112.0027.0056.0020.18750.448318.35719.9844.5730.18600.446318.16819.6043.9240.18950.446018.15719.5743.8850.18590.446018.15619.5743.88对应特征向量为:例3用幂法求矩阵K3.Rayleigh商加速9.3.2反幂法和原点位移计算A按模最小特征值问题就是计算A-1按模最大若有n个线性无关特征向量且其特征值满足:若A特征值为,则A-pI特征值为对(A-pI)-1应用幂法得到反幂法计算公式:于是结论值大致位置时,用此法最适当(该方法是一个有效方法)。小结:给定特征值一个近似值p,求p对应特征向量(近似)步骤:例7.2用反幂法求以下矩阵靠近于p=1.2679特征值(准确特征值例7.3以下矩阵A主特征值靠近于p=-6.42,用反幂法求更准确主特征值及其特征向量(计算两步即可).