（整理版）数列的综合问题与数列的应用.doc

6-4数列的综合问题与数列的应用根底稳固强化1.(·杭州第一次质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn，那么a6＋a7>0是S9≥S3的()A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]∵S9≥S3⇔a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9≥0⇔3(a6＋a7)≥0⇔a6＋a7≥0，∴a6＋a7>0⇒a6＋a7≥0，但a6＋a7≥0⇒/a6＋a7>0，应选A.2．(·淄博模拟){an}是递增数列，且对任意n∈N*都有an＝n2＋λn恒成立，那么实数λ的取值范围是()A．(－eq\f(7,2)，＋∞)B．(0，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－3，＋∞)[答案]C[解析]an＝n2＋λn＝(n＋eq\f(λ,2))2－eq\f(λ2,4)，∵对任意n∈N*，an＋1>an，∴－eq\f(λ,2)≤1，∴λ≥－2，应选C.3．(文)设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，那么数列{eq\f(1,fn)}(n∈N*)的前n项和是()A.eq\f(n,n＋1)B.eq\f(n＋2,n＋1)C.eq\f(n,n－1)D.eq\f(n＋1,n)[答案]A[解析]f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，∴f(x)＝x(x＋1)，eq\f(1,fn)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，∴Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝eq\f(n,n＋1).(理)(·北京西城期末)各项均不为零的数列{an}，定义向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N*A．假设对于任意n∈N*总有cn∥bn成立，那么数列{an}是等差数列B．假设对于任意n∈N*总有cn∥bn成立，那么数列{an}是等比数列C．假设对于任意n∈N*总有cn⊥bn成立，那么数列{an}是等差数列D．假设对于任意n∈N*总有cn⊥bn成立，那么数列{an}是等比数列[答案]A[解析]假设对任意n∈N*，有cn∥bn，那么eq\f(an,n)＝eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(an＋2,n＋2)，所以an＋1－an＝an＋2－an＋1，即2an＋1＝an＋an＋2，所以数列{an}为等差数列．4．(文)(·山西运城教学检测)数列{an}的前n项和为Sn，过点P(n，Sn)和Q(n＋1，Sn＋1)(n∈N*)的直线的斜率为3n－2，那么a2＋a4＋a5＋a9的值等于()A．52B．40C．26D．20[答案]B[解析]由题意得eq\f(Sn＋1－Sn,n＋1－n)＝3n－2，∴Sn＋1－Sn＝3n－2，即an＋1＝3n－2，∴an＝3n－5，因此数列{an}是等差数列，a5＝10，而a2＋a4＋a5＋a9＝2(a3＋a7)＝4a5＝40，应选B.(理)两个正数a、b的等差中项是eq\f(7,2)，一个等比中项是2eq\r(3)，且a<b，那么双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率e等于()A.eq\f(3,4)B.eq\f(\r(15),2)C.eq\f(5,4)D.eq\f(5,3)[答案]D[解析]∵a＋b＝7，a·b＝12，b>a>0，∴a＝3，b＝4.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\f(5,3).5．(·江西新余四中期末)在△ABC中，eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(2cosC＋cosA,2sinC－sinA)是角A、B、C成等差数列的()A．充分非必要条件B．充要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(2cosC＋cosA,2sinC－sinA)⇒2sinAsinC－sin2A＝2cosAcosC＋cos2A⇒2cos(A＋C)＋1＝0⇒cosB＝eq\f(1,