八节雅可比与高斯—塞德尔迭代法PPT课件.ppt

生成向量序列{x(k)}，若序列{x(k)}的收敛条件，收敛速度，误差估计等。其中aii0(i=1,2,…,n)建立迭代格式于是雅可比迭代法可写为矩阵形式例如已知线性方程组Ax=b的矩阵为在Jacobi迭代中,计算xi(k+1)（2in）时,使用xj(k+1)代替xj(k)（1ji-1），即或缩写为例如已知线性方程组Ax=b的矩阵为例1用雅可比迭代法解方程组k解：Gauss-Seidel迭代格式为2024/2/9取x(0)=(0,0,0)T计算如下：定理1在下列任一条件下，雅克比迭代法收敛。定理2设B1,B2分别为雅克比迭代矩阵与高斯—塞德尔迭代矩阵，则.定理3若矩阵A行（或列）严格对角占优，则解线性方程组Ax=b的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛。由此根据第五节定理4知道(I-BJ)是非奇异矩阵，因此A=D(I-BJ)也是非奇异矩阵.②下面证明Gauss—Seidel迭代法收敛.是行严格对角占优矩阵,由结论知它是非奇异矩阵,这与式(1)矛盾,所以||<1,从而(BG)<1,即Gauss—Seidel迭代法收敛.定理4若A为正定矩阵，则方程组Ax=b的Gauss—Seidel迭代法收敛。因A正定，所以D正定，故设[Dy,y]=>0。定理5若Jacobi迭代矩阵BJ为非负矩阵，则下列关系有一个且仅有一个成立：例3已知方程组故Jacobi迭代法收敛。2024/2/9