数列极限例题.doc

三、数列的极限观察数列当时的变化趋势.问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?通过上面演示实验的观察:当无限增大时,无限接近于1.问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.给定由只要时,有给定只要时,有给定只要时,有给定只要时,有成立.定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数,使得对于时的一切,不等式都成立,那末就称常数是数列的极限,或者称数列收敛于,记为或如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：定义使时,恒有其中记号每一个或任给的;至少有一个或存在.数列收敛的几何解释:当时,所有的点都落在内,只有有限个(至多只有个)落在其外.注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证明证注意到.任给若要只要或所以,取则当时,就有.即重要说明：（1）为了保证正整数N，常常对任给的给出限制；（2）逻辑“取则当时,就有”的详细推理见下，以后不再重复说明或解释，对函数极限同样处理逻辑推理.由于，所以当时一定成立，即得成立.严格写法应该是：任给不妨取，若要=<,只要所以,取则当时,由于，所以当时一定成立，即得成立.也就是成立=.即小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.例3证明,其中.证任给(要求ε<1)若则若取则当时,就有说明：当作公式利用：