多元线性回归模型.doc

第四章多元线性回归模型在一元线性回归模型中，解释变量只有一个。但在实际问题中，影响因变量的变量可能不止一个，比如根据经济学理论，人们对某种商品的需求不仅受该商品市场价格的影响，而且受其它商品价格以及人们可支配收入水平的制约；影响劳动力劳动供给意愿（用劳动参与率度量）的因素不仅包括经济形势（用失业率度量），而且包括劳动实际工资；根据凯恩斯的流动性偏好理论，影响人们货币需求的因素不仅包括人们的收入水平，而且包括利率水平等。当解释变量的个数由一个扩展到两个或两个以上时，一元线性回归模型就扩展为多元线性回归模型。本章在理论分析中以二元线性回归模型为例进行。一、预备知识（一）相关概念对于一个三变量总体，若由基础理论，变量和变量之间存在因果关系，或的变异可用来解释的变异。为检验变量和变量之间因果关系是否存在、度量变量对变量影响的强弱与显著性、以及利用解释变量去预测因变量，引入多元回归分析这一工具。将给定条件下的均值（4.1）定义为总体回归函数（PopulationRegressionFunction,PRF）。定义为误差项（errorterm）,记为，即，这样，或（4.2）（4.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。其中，称为解释变量（explanatoryvariable）或自变量（independentvariable）；称为被解释变量（explainedvariable）或因变量（dependentvariable）；误差项解释了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。在总体回归模型（4.2）中参数是未知的，是不可观察的，统计计量分析的目标之一就是估计模型的未知参数。给定一组随机样本，对（4.1）式进行估计，若的估计量分别记为，则定义（4.3）式为样本回归函数（）（4.3）注意，样本回归函数随着样本的不同而不同，也就是说是随机变量，它们的随机性是由于的随机性（同一组可能对应不同的）、各自的变异、以及之间的相关性共同引起的。定义为残差项（residualterm）,记为，即，这样，或（）（4.4）（4.4）式称为样本回归模型或者随机样本回归函数。样本回归模型中残差项可视为总体回归模型中误差项的估计量。（二）多元线性回归模型的矩阵表示多元线性回归模型的参数估计比一元线性回归模型要复杂得多，为了便于计算和分析，便于将结果由三变量总体推广到一般的多变量总体，引入矩阵这一工具简化计算和分析。设是取自总体的一组随机样本。在该组样本下，总体回归模型（4.2）式可以写成方程组的形式利用矩阵运算，可表示为（4.5）记，,,则在该组样本下，总体回归模型的矩阵表示为（4.6）记,则样本回归模型的矩阵表示为（4.7）（三）模型假定假定1回归模型是参数线性的，并且是设定正确的。假定2随机误差项与解释变量不相关。即，。如果解释变量是非随机的，则该假设自动满足。假定3零均值假定。即，假定4同方差假定。即，假定5无自相关假定。即两个误差项之间不相关，，假定6解释变量与之间不存在完全共线性，即两个解释变量之间无确切的的线性关系。假定7正态性假定。即～，（四）参数估计与估计量的分布系数向量的OLS估计为（4.8）其中，为的转置矩阵。在随机误差项服从正态分布的假定下，系数向量的估计量也服从正态分布，即～（4.9）记的第j个主对角元素为，则～（4.10）有了系数估计量的分布，就可以对总体参数做假设检验。与双变量总体相同，总体误差是不可观察的，因而其方差是未知的。若用的无偏估计量代替，则OLS估计量服从自由度为的t分布，而不是正态分布，即～（4.11）其中，，。（五）预测原理回归分析的目的之一是利用回归模型预测因变量。假设三变量总体的回归模型为（4.2），即（4.2）在一组随机样本下，利用OLS求得样本回归函数为（4.3）（）（4.3）给定样本外一点，则因变量的点预测为（4.12）点预测的标准误为（4.13）因变量的置信度为的区间预测为[,]（4.14）二、案例[案例1]Woody餐馆的选址分析Woody餐馆是一家价位适中、24小时营业的家庭连锁店，公司邀请你决策下一家连锁店的选址问题。你决定建立一个回归模型来解释每一家连锁餐馆的毛销售额Y（thegrosssalesvolume）,通过文献的阅读，你认为以下变量对毛销售额的影响较大，N=竞争变量：餐馆位置半径2里以内市场直接竞争者的数量；P=人口：餐馆位置半径3里以内人口的数量；I=收入：餐馆位置半径3里以内家庭平均收入。并且通过调研，你获得了33家Woody餐馆连锁店的数据。[案例2]经济形势和实际工资对人们工作意愿的影响在第三章，我们根据劳动经济学理论，分析了经济形势对人们工作意愿的影响存在两种效应：受挫工人效应和增加工人效应；并且利用1980-2002年的数据实证了受挫工人效应占主导地位。但根据劳动经济学理