全国初中数学联赛试卷.doc

2012年全国初中数学联赛试卷一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．（7分）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a2．（7分）方程x2+2xy+3y2=34的整数解（x，y）的组数为（）A．3B．4C．5D．63．（7分）已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE=1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A．B．C．D．4．（7分）已知实数a，b满足a2+b2=1，则a4+ab+b4的最小值为（）A．B．0C．1D．5．（7分）若方程x2+2px﹣3p﹣2=0的两个不相等的实数根x1，x2满足，则实数p的所有可能的值之和为（）A．0B．C．﹣1D．6．（7分）由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足a+c=b+d．这样的四位数共有（）A．36个B．40个C．44个D．48个二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7．（7分）已知互不相等的实数a，b，c满足，则t=_________．8．（7分）使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为_________．9．（7分）在△ABC中，已知AB=AC，∠A=40°，P为AB上一点，∠ACP=20°，则=_________．10．（7分）已知实数a，b，c满足abc=﹣1，a+b+c=4，，则a2+b2+c2=_________．三、解答题（共3小题）11．（20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．12．（25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E．证明：∠BAE=∠ACB．13．（25分）已知抛物线的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线．设M（0，），若AM∥BC，求抛物线的解析式．2012年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．（7分）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a考点：二次根式的混合运算；实数大小比较。811336专题：计算题。分析：先求出a、b、c的倒数并分母有理化，然后根据一个数的倒数越大，则这个数越小，进行大小比较．解答：解：∵a=﹣1，b=﹣，c=﹣2，∴==+1，==+，===+1=+1，∵+1＜+1＜+，∴0＜＜＜，因此b＜a＜c．故选C．点评：本题考查了二次根式的混合运算，实数的大小比较，求差、求商或求倒数是实数大小比较常用的方法，本题想到求倒数，根据比较倒数的大小从而得出原数的大小是解题的关键．2．（7分）方程x2+2xy+3y2=34的整数解（x，y）的组数为（）A．3B．4C．5D．6考点：非一次不定方程（组）。811336分析：首先将原方程变形为：（x+y）2+2y2=34，即可得x+y必须是偶数，然后设x+y=2t，可得新方程2t2+y2=17，解此方程即可求得答案．解答：解：方程变形得：（x+y）2+2y2=34，∵34与2y2是偶数，∴x+y必须是偶数，设x+y=2t，则原方程变为：（2t）2+2y2=34，∴2t2+y2=17，它的整数解为，则当y=3，t=2时，x=1；当y=3，t=﹣2时，x=﹣7；当y=﹣3，t=2时，x=7；当y=﹣3，t=﹣2时，x=﹣1．∴原方程的整数解为：（1，3），（﹣7，3），（7，﹣3），（﹣1，﹣3）共4组．故选B．点评：此题考查了非一次不定方程的知识．此题难度较大，解题的关键是将原方程变形为：（x+y）2+2y2=34，由x+y必须是偶数，然后设x+y=2t，从而得新方程2t2+y2=17．3．（7分）已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE=1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A．B．C．D．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理。811336分析：利用全等三角形的判定AAS得出△ADF≌△ECF，进而得出FG是△DCP的中位线，得出DG=GP=PE=DE=，再利用勾股定理得出BG的长即可．解答：解：过点C作CP∥BG，交DE于点P．∵BC=CE=1，∴CP是△BEG的中位线，∴P为EG的中点．又∵AD=CE=1，AD∥CE，在△ADF≌△ECF中，∵，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴CF=DF，又CP∥FG，∴FG是△DCP的中位线，∴G为DP的中点．∵CD=CE=1，∴DE=，因此DG=GP=PE=DE=．连接BD，易知∠BDC=∠EDC=45°，所以∠BDE=90°．