全国初中数学联赛试卷及解答.docx

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1．已知，，则的值为（）
A．1.B．.C．.D．.
【答】B.
由可得，
即，
即，即，所以．
2．已知△的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（）
A．5.B．6.C．7.D．8.
【答】B.
设△的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为．显然，于是由三边关系，得
解得．
所以的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.
3．方程的解的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答】C.
当时，方程为，即，解得，，均满足．
当时，方程为，即，解得，满足．
2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准（）
综上，原方程有3个解．
.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（）
A．5组.B．7组.C．9组.D．11组.
【答】C.
显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条．当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．
又因为，所以正方形的边长不大于．由于
；；；
；．
所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法。
故满足条件的“线段组”的组数为1×4＋5＝9．
5．如图，菱形ABCD中，，，，，，则
（）
A．.B．.C．.D．.
【答】D.
过F作AB的垂线，垂足为H．∵，，
∴，，，
又∵，
∴，
从而△FHE是等腰直角三角形，所以HE＝FH＝，
∴．
6．已知，，，则的值为（）
A．1.B．.C．2.D．.
【答】C.
由已知等式得，，，所以．
于是，，，．所以，，，即。
代入，得，解得．
2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准（）
所以．
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．在△ABC中，已知，，则．
【答】。
延长AB到D，使BD＝BC，连线段CD，则，所以CA＝CD。
作于点E，则E为AD的中点，故
，
.
在Rt△BCE中，，所以，故．
2．二次函数的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则．
【答】2．
由已知，得，，，．
过D作于点E，，则，即，得，
所以或．又，所以．
又，即，得．
3．能使是完全平方数的正整数n的值为．
【答】11.
当时，，若它是完全平方数，则n必为偶数．
若，则；若，则；若，则；若，则。所以，当时，都不是完全平方数．
当时，，若它是完全平方数，则为一奇数的平方。
设（k为自然数），则．由于和一奇一偶，所以，于是，故．
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4．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果，，D为EF的中点，则AB＝．
【答】24.
设，则．
连AD，BC．因为AB为⊙O的直径，AF为⊙O的切线，所以．
又因为D为Rt△AEF的斜边EF的中点，
∴，∴，
∴，∴．
在Rt△AEF中，由勾股定理得，即．
设，由相交弦定理得，即，
∴=1\*GB3①
又∵，∴．
又，∴，从而．
在Rt△ACB中，由勾股定理得，即，
∴．②
联立①②，解得．
所以．
第二试（A）
一、（本题满分20分）已知三个不同的实数满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求的值．
解依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．
设是方程①和方程②的一个相同的实根，则两式相减，可解得．
……………………5分
设是方程③和方程④的一个相同的实根，则两式相减，可解得。
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所以．……………………10分
又方程①的两根之积等于1，于是也是方程①的根，则。
又，两式相减，得．……………………15分
若，则方程①无实根，所以，故．
于是．又，解得．……………………20分
二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，，，对角线交于点，且，为的中点．求证：（1）；（2）．
证明（1）由已知得，从而四点共圆，为直径，为该圆的圆心．……………………5分
作于点，知为的中点，所以＝＝，从而．……