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第4章第3节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1.已知两个单位向量a与b的夹角为135°，则|a＋λb|>1的充要条件是()A.λ∈(0，eq\r(2))B.λ∈(－eq\r(2)，0)C.λ∈(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)D.λ∈(－∞，0)∪(eq\r(2)，＋∞)答案：D解析：由|a＋λb|>1，得a2＋2λa·b＋λ2b2>1，化简得λ2－eq\r(2)λ>0，解得λ<0或λ>eq\r(2)，故选D.2.[2012·潍坊模考]已知非零向量a·b满足|a|＝eq\r(3)|b|，若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋|a|x2＋2a·bx＋1在x∈R上有极值，则〈a，b〉的取值范围是()A.[0，eq\f(π,6)]B.(0，eq\f(π,3)]C.(eq\f(π,6)，eq\f(π,2)]D.(eq\f(π,6)，π]答案：D解析：∵f(x)＝eq\f(1,3)x3＋|a|x2＋2a·bx＋1在x∈R上有极值，∴f′(x)＝0有不相等的实根．∵f′(x)＝x2＋2|a|x＋2a·b，∴x2＋2|a|x＋2a·b＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4|a|2－8a·b>0，即a·b<eq\f(1,2)|a|2，∵cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，|a|＝eq\r(3)|b|，∴cos〈a，b〉<eq\f(\f(1,2)|a|2,|a||b|)＝eq\f(\r(3),2)，∵0≤〈a，b〉≤π，∴eq\f(π,6)<〈a，b〉≤π，故选D.3.[2012·湖北联考]已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a·b＝0，若向量c与a－b共线，则|a＋c|的最小值为()A.eq\r(2)B.1C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)答案：A解析：∵c与a－b共线，设c＝λ(a－b)＝λa－λb(λ≠0)，则|a＋c|＝|a＋λa－λb|＝|(1＋λ)a－λb|，∴|a＋c|2＝(1＋λ)2|a|2－2λ(1＋λ)a·b＋λ2|b|2＝4(2λ2＋2λ＋1)，当λ＝－eq\f(1,2)时，|a＋c|的最小值是eq\r(2).4.已知平面向量a，b，c满足：a⊥c，b·c＝－2，|c|＝2，若存在实数λ使得c＝a＋λb，则λ的值为()A.－4B.－2C.2D.4答案：B解析：由已知a⊥c得a·c＝0，又c·c＝(a＋λb)·c，即|c|2＝a·c＋λb·c.又|c|＝2，a·c＝0，b·c＝－2，所以－2λ＝4，即λ＝－2.5.在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝2，若O为△ABC内部的一点，且满足eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝0，则eq\o(AO,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)答案：C解析：由题意知O为△ABC的重心，取BC的中点D，∴eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→)))，eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→))，∴eq\o(AO,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→)))(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up15(→))2－eq\o(AB,\s\up15(→))2)＝eq\f(1,3).6.[2011·福建]设V是全体平面向量构成的集合．若映射f：V→R满足：对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，则称映射f具有性质P.现给出如下映射：①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；③f3：V→R，f3(